第9章 第2节 直线与椭圆的位置关系-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第二节　直线与椭圆的位置关系 课程标准　1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．　2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题． 授课提示：对应学生用书第178页 知识点一　判断直线和椭圆位置关系的方法 　直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 知识点二　弦长公式 　设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝， 所以|AB|＝ ＝ ＝·， 或|AB|＝ ＝ ＝·， 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得． 1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．m>1　　　　　　 B．m>0 C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5 解析：直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则点(0,1)在椭圆＋＝1内部或在椭圆上，所以≤1，由方程＋＝1表示椭圆，则m>0且m≠5，综上知m的取值范围是m≥1且m≠5. 答案：D 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：根据余弦定理，|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|BF|·|AB|·cos∠ABF，即|AF|＝6. ∴∠AFB＝90°.又O为斜边AB中点， ∴|OF|＝c＝5. ∵根据椭圆的对称性可知|AF|＋|BF|＝2a＝14， ∴a＝7，∴离心率为. 答案：B 3．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上， ∴ ①－②，得 ＋＝0， 即＝－， ∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2， 而＝kAB＝＝，∴＝. 又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9. ∴椭圆E的方程为＋＝1. 答案：D 授课提示：对应学生用书第179页 题型一　直线与椭圆的位置关系 例1　如图，已知直线l：4x－5y＋m＝0和椭圆C：＋＝1.m为何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ [解]　由方程组 消去y，得 25x2＋8mx＋m2－225＝0.① 方程①的根的判别式 Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2)． (1)由Δ＞0，得－25＜m＜25.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m1＝25，m2＝－25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)由Δ＜0，得m＜－25或m＞25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点． 　判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． 1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　) A．至多为1　　　　　　 B．2 C．1 D．0 解析：由题意知＞2，即＜2，所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部．故所求交点个数是2. 答案：B 2．(2021·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点A(0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为4. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点P(0，－3)的直线l的斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB交y＝－3于点M，直线AC交y＝－3于点N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围． 解：(1)将A(0，－2)代入椭圆方程得b＝2，由椭圆四个顶点围成的四边形面积为2ab＝4，解得a＝，所以椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)由题意得直线l的方程为y＋3＝k(x－0)，即y＝kx－3， 将y＝kx－3代入椭圆方程并化简得(4＋5k2)x2－30kx＋25＝0，由Δ＝(－30k)2－4×25(4＋5k2)>0，解得k<－1或k>1. 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，不妨设点B位于第一象限，点C位于第四象限，如图所示． 则x1＋x