第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 课程标准　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．　2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 授课提示：对应学生用书第170页 知识点一　直线与圆的位置关系 　设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由 消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 　方法 位置关系　　　　　　　 几何法 代数法 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 知识点二　圆与圆的位置关系 　设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切 线条数 4 3 2 1 0 1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案：C 2．直线x＋y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交于A，B两点，则弦|AB|＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 答案：D 3．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________． 答案：x＝3或4x＋3y－15＝0 4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________. 答案：1 授课提示：对应学生用书第171页 题型一　直线与圆的位置关系 角度(一)　切线问题 例1　已知点P(＋1,2－)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，则过点P的圆C的切线方程为________． [解析]　由题意得，圆心C(1,2)，半径r＝2.因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上，又kPC＝＝－1，所以切线的斜率k＝－＝1，所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0. [答案]　x－y＋1－2＝0 　1.圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k； (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 2．与圆的切线有关的结论 (1)与圆x2＋y2＝r2相切于点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2； (2)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切于点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； (3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2. 1．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________． 解析：设圆心为C(3,0)，P为直线y＝x＋1上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以|PN|min＝()min＝，又|PC|min＝＝2，所以|PN|min＝. 答案： 角度(二)　弦长问题 例2　(1)直线2x·sin θ＋y＝0被圆x2＋y2－2y＋2＝0截得的弦长的最大值为(　　) A．2　　　　　　　 B．2 C．3 D．2 (2)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________． [解析]　(1)易知圆的标准方程为x2＋(y－)2＝3，所以圆心为(0，)，半径r＝， 由题意知圆心到直线2x·sin θ＋y＝0的距离d＝<，解得sin2θ>，所以弦长为2＝2，因为<4sin2θ＋1≤5，所以1≤<3，所以2＝2∈(0，2]． 当4sin2θ＋1＝5，即sin2θ＝1时，弦长有最大值2. (2)设圆心(0,0)到直线x－y＋8＝0的距离为d， 则d＝＝4， ∴r2＝2＋d2＝32＋42＝25，又r>0， ∴r＝5. [答案]　(1)D　(2)5 　求直线与圆相交弦长的常用方法 1．几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2. 2．代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝·|x1－x2|. 2．已知直线l1：y＝x＋1与l2：y