第8章 第2节 第2课时 对称问题-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第二课时　对称问题 授课提示：对应学生用书第164页 知识点一　关于中心对称问题的处理方法 1．若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 2．求直线关于点的对称直线的方程的主要方法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然斜率必须存在． 知识点二　关于轴对称问题的处理方法 　若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，且直线P1P2垂直于直线l，由方程组可得点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． 1．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0　　　　　　 B．x＋y＋1＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0 解析：因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0. 答案：A 2．已知点A与点B(1,2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为(　　) A．(3,4) B.(4,5) C．(－4，－3) D．(－5，－4) 答案：D 3．(2023·岳阳模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 答案：D 4．已知直线ax＋by－2＝0，且3a－4b＝1，则该直线必过定点__________． 解析：由3a－4b＝1，得b＝，代入ax＋by－2＝0，得a(4x＋3y)＝y＋8.令解得 答案：(6，－8) 授课提示：对应学生用书第165页 题型一　点关于点对称 例1　过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________． [解析]　设l1与l的交点为A(a,8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， 所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0. [答案]　x＋4y－4＝0 　点关于点对称问题的求解方法 点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 　已知直线l1：2x＋y＋2＝0与l2：4x＋by＋c＝0关于点P(1，0)对称，则b＋c＝________. 解析：在直线l1：2x＋y＋2＝0上取点M(－1,0)，N(0，－2)，则点M，N关于点P(1,0)的对称点分别为M1(3,0)，N1(2,2)． 因为点M1(3,0)，N1(2,2)在直线l2：4x＋by＋c＝0上，所以12＋c＝0,8＋2b＋c＝0，解得c＝－12，b＝2，所以b＋c＝－10. 答案：－10 题型二　点关于线对称 例2　(2023·长沙调研)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________． [解析]　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′， 所以解得 又反射光线经过点N(2,6)， 所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0. [答案]　6x－y－6＝0 　点关于线对称问题的求解方法 解决点关于直线对称的问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直． 　已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　) A．2x＋3y＋5＝0　　　　 B．3x－2y＋5＝0 C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0 解析：设A(x0，y0)，依题意可得解得即A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，故直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0. 答案：B 题型三　线关于线对称 例3　直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　) A．x－2y＋3＝0　　　　　　　 B．x－2y－3＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0 [解析]　设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于直线x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)， 由得 因为点P′(x0，y0)在直