第8章 第2节 第1课时 两直线的交点坐标与距离公式-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第二节　直线的交点坐标与距离公式 课程标准　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．　2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．　3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 第一课时　两直线的交点坐标与距离公式 授课提示：对应学生用书第161页 知识点一　两直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行， (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 知识点二　距离公式 1．两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 3．两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 1．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 答案：A 2．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　) A．2 B.－3 C．2或－3 D．3 答案：C 3．经过两点A(－2,5)，B(1，－4)的直线l与x轴的交点的坐标是(　　) A. B.(－3,0) C. D．(3,0) 解析：过点A(－2,5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点的坐标为. 答案：A 4．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________． 解析：由点到直线的距离公式可得 ＝，解得a＝或a＝－4. 答案：或－4 授课提示：对应学生用书第162页 题型一　两直线的交点坐标 例1　已知：a为实数，两直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋y－a＝0相交于一点．求证：交点不可能在第一象限及x轴上． [证明]　∵两直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋y－a＝0 相交于一点，∴a≠1. ∴由方程组 解得即交点为坐标为. ①若交点在第一象限，则 解得 ∴a∈∅，故交点不可能在第一象限内． ②若交点在x轴上，则＝0(a≠1)，方程无解，故交点也不可能在x轴上． 综上可知，直线l1，l2的交点不可能在第一象限及x轴上． 　在解决与两直线交点坐标有关的题目时，先求出两直线的交点，再结合其他条件求解． 　已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________． 答案： 题型二　两直线的位置关系 角度(一)　判断两直线的位置关系 例2　(2023·天津模拟)“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　设直线l1：ax＋2y－8＝0，直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0.若l1与l2平行，则a(a＋1)－2＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2.当a＝－2时，直线l1的方程为－2x＋2y－8＝0，即x－y＋4＝0，直线l2的方程为x－y＋4＝0，此时两直线重合，故a≠－2.当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y－8＝0，直线l2的方程为x＋2y＋4＝0，此时两直线平行．故“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要条件． [答案]　A 1．“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由l1⊥l2得，2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，解得m＝3或m＝－2. 答案：A 角度(二)　由两直线的位置关系求参数 例3　若直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．0 C．2 D．－1或0 [解析]　由题意可知m(2m－1)＋3m＝0，解得m＝0或m＝－1