第6章 第3节 等比数列-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第三节　等比数列 课程标准　1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．　2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．　3.了解等比数列与指数函数的关系． 授课提示：对应学生用书第120页 知识点一　等比数列的有关概念 1．定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)，定义的表达式为＝q. 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab. 知识点二　等比数列的有关公式 1．通项公式 等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1. 2．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝＝. 1．已知数列{an}是等比数列，且a1＝，a4＝－1，则{an}的公比q为(　　) A．2　　　　　　　 B．－ C．－2 D. 解析：由＝q3＝－8，得q＝－2. 答案：C 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　) A．31 B.32 C．63 D．64 解析：由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63. 答案：C 3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝an－1(a是不为0的实数)，则{an}(　　) A．一定是等比数列 B．一定是等差数列 C．是等差数列或是等比数列 D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 解析：当a＝1时，{an}的各项都为0，则这个数列是等差数列，但不是等比数列；当a≠1时，由Sn＝an－1知，{an}是等比数列，但不是等差数列． 答案：C 4．已知正项等比数列{an}满足a2·a·a2 022＝16，则a1·a2·…·a1 018＝(　　) A．41 017 B.21 017 C．41 018 D．21 018 解析：由a2·a·a2 022＝16， 可得(a7a1 012)2＝16， 所以a7a1 012＝4， 所以a1·a2·…·a1 018＝(a7a1 012)509＝21 018. 答案：D 5．(易错题)已知x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________． 解析：因为x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的前三项，所以(2x＋2)2＝x(3x＋3)， 即x2＋5x＋4＝0， 解得x＝－1或x＝－4. 当x＝－1时，数列的前三项为－1,0,0， 不是等比数列，舍去． 答案：－4 6．(易错题)设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn.若S3＝3a3，则公比q＝________. 解析：当q≠1时，由题意，＝3a1q2， 即1－q3＝3q2－3q3， 整理得2q3－3q2＋1＝0， 解得q＝－. 当q＝1时，S3＝3a3，显然成立． 故q＝－或1. 答案：－或1 授课提示：对应学生用书第121页 题型一　等比数列的基本运算 例1　(1)(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．12　　　　　　　 B．24 C．30 D．32 (2)(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1 B.2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 [解析]　(1)法一：设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32. 法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3.设数列{an}的公比为q，则＝＝＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n－1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32. 法三：设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，所以a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a3)＝25＝32. (2)法一：设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2.由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1. 所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1， 所以＝＝2－21－n. 法二：设等比数列{an}的公比为q，则 得＝q＝2.将q＝2代入①，解得a3＝4. 所以a1＝＝1，下同法一． [答案]　(1)D　(2)B 　等