第5章 第5节 数系的扩充与复数的引入-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第五节　数系的扩充与复数的引入 课程标准　 1．复数的概念 (1)通过方程的解，认识复数； (2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 2．复数的运算 掌握复数代数形式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 3．*复数的三角表示 通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 授课提示：对应学生用书第110页 知识点一　复数的有关概念及意义 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数； (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)； (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)； (4)复数的模： 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi 　　复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 　　平面向量. 知识点二　复数的代数运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 2．复数加法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．1　　　B．2　　　　C．1或2　　　　D．－1 答案：B 2．(2023·合肥质检)已知复数z满足z·(1－2i)＝i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 3．设复数z满足＝i，则|z|＝________. 答案：1 4．(易错题)若a为实数，且＝3＋i，则a＝________. 答案：4 授课提示：对应学生用书第111页 题型一　复数的有关概念 例1　(1)(2020·全国Ⅲ卷)复数的虚部是(　　) A．－　　　　　　　　 B．－ C. D. (2)(2023·郑州模拟)若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为(　　) A．1 B.－1 C. D．－ [解析]　(1)z＝＝＝＋i，虚部为. (2)因为＝＝＋i，所以由题意，得＝，解得a＝. [答案]　(1)D　(2)C 　求解复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数有关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解． 1．若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(　　) A．－1 B.0 C．1 D．2 解析：由纯虚数的概念得解得m＝1. 答案：C 2．设复数z＝1－，则z的共轭复数是(　　) A．1＋i B.1＋2i C．1－i D．1－2i 解析：由z＝1－＝1－＝1＋2i，得＝1－2i. 答案：D 题型二　复数的几何意义 角度(一)　复数与点的关系 例2　(2020·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝(　　) A．1＋2i　　　　　　　　　 B．－2＋i C．1－2i D．－2－i [解析]　i·z＝i(1＋2i)＝i－2. [答案]　B 1．已知复数z满足(2＋i)z＝i2 023，则z在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由(2＋i)z＝i2 023得z＝＝＝－－i， 对应点坐标为，位于第三象限． 答案：C 角度(二)　复数模的几何意义(与向量对应) 例3　(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________. [解析]　法一：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R， 因为z1＋z2＝＋i， 所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i,2z2＝(－a)＋(1－b)i. 因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4， 所以＝4，① ＝4，② ①2＋②2得a2＋b2