第5章 第4节 平面向量的应用-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第四节　平面向量的应用 课程标准　借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 授课提示：对应学生用书第104页 知识点一　余弦定理、正弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 常 见 变 形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点二　三角形的面积 　S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆的半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 答案：C 2．(易错题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，C＝，则A＝(　　) A. B. C.或 D.或 答案：A 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜bcos A，则△ABC为(　　) A．钝角三角形 B.直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 解析：由已知及正弦定理得sin C＜sin Bcos A， 所以sin(A＋B)＜sin Bcos A， 所以sin Acos B＋cos Asin B＜sin Bcos A， 即sin Acos B＜0， 又sin A＞0，所以cos B＜0，所以B为钝角， 故△ABC为钝角三角形． 答案：A 4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________． 答案：2 授课提示：对应学生用书第105页 题型一　利用正、余弦定理解三角形 角度(一)　用余弦定理解三角形 例1　在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B. C. D．3 [解析]　由余弦定理，得cos 120°＝.化简，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)． [答案]　D 1．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　) A. B.2 C．4 D．8 解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D(图略)，则AD＝AC＝2，BD＝＝，所以tan∠ABD＝＝＝， 所以tan∠ABC＝＝4. 答案：C 角度(二)　用正弦定理解三角形 例2　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　) A．a＝2b B.b＝2a C．A＝2B D．B＝2A (2)(2023·兰州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a＝4，b＝5，cos A＝，则B＝(　　) A. B.或 C. D.或 [解析]　(1)∵sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos A·sin C)， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)． 又∵sin B＝sin(A＋C)，∴2sin Bcos C＝sin Acos C. ∵0＜C＜，∴cos C≠0，∴2sin B＝sin A. 由正弦定理得a＝2b. (2)根据题意，在△ABC中，cos A＝， 则sin A＝，且A为锐角． 又由＝，可得sin B＝＝， 因为a＝4＞b＝5，所以B＜A，故B＝. [答案]　(1)A　(2)A 　三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝，c＝2，b＝2，则C＝(　　) A. B.或 C. D.或 解析：由正弦定理＝得＝，所以sin C＝，所以C＝或. 答案：B 角度