第3章 第2节 第1课时 利用导数研究函数的单调性 -【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第一课时　利用导数研究函数的单调性 授课提示：对应学生用书第58页 题型一　不含参数的函数单调性问题 例1　(1)(2023·南阳模拟)已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A.和(1，＋∞) B．(0,1)和(2，＋∞) C.和(2，＋∞) D．(1,2) (2)已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　) A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 (3)(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝x－2f′(1)ln(x＋1)－f(0)ex，则f(x)的单调递减区间为________． [解析]　(1)函数f(x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)． f′(x)＝2x－5＋＝＝， 令f′(x)＞0，解得0＜x＜或x＞2， 故函数f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)． (2)因为函数f(x)＝xln x，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x＞0)，当f′(x)＞0时，解得x＞，即函数的单调递增区间为； 当f′(x)＜0时，解得0＜x＜， 即函数的单调递减区间为. (3)由题意可知x＞－1， f(0)＝0－2f′(1)ln(0＋1)－f(0)e0＝－f(0)， 所以f(0)＝0，故f(x)＝x－2f′(1)ln(x＋1)， f′(x)＝1－， 所以f′(1)＝1－，解得f′(1)＝， 故f′(x)＝1－＝， 令f′(x)≤0，即≤0，解得－1＜x≤0， 故f(x)的单调递减区间为(－1,0]． [答案]　(1)C　(2)D　(3)(－1,0] 　确定函数单调区间的步骤 1．确定函数f(x)的定义域． 2．求f′(x)． 3．解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． 4．解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 1．函数y＝x＋＋2ln x的单调递减区间是(　　) A．(－3,1)　　　　　 B．(0,1) C．(－1,3) D．(0,3) 答案：B 2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A．f(b)＞f(c)＞f(d) B．f(b)＞f(a)＞f(e) C．f(c)＞f(b)＞f(a) D．f(c)＞f(e)＞f(d) 答案：C 3．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝(x－5)2＋6ln x； (2)f(x)＝xcos x－sin x＋1(x＞0)． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝x－5＋＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3. 当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)； 单调递减区间为(2,3)． (2)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N)． 当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sin x＞0，此时f′(x)＜0； 当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sin x＜0，此时f′(x)＞0. 故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)． 题型二　含参数的函数单调性的判断 例2　(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标． [解]　(1)由f(x)＝x3－x2＋ax＋1可得f′(x)＝3x2－2x＋a， 对于3x2－2x＋a＝0，Δ＝4－12a. ①当a≥时，Δ≤0，即f′(x)≥0在R上恒成立，此时f(x)在R上单调递增． ②当a<时，Δ>0，方程3x2－2x＋a＝0的两个根为x1＝，x2＝，故当x∈∪时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0， 所以f(x)在， 上单调递增， 在上单调递减． (2)设过原点的切线与曲线y＝f(x)相切于点P(x0，y0)， 则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2x0＋a， 故以点P为切点的切线方程为y＝(3x－2x0＋a)(x－x0)＋y0. 由y0＝x－x＋ax0＋1，且切线过原点，得2x－x－1＝0，即(x0－1)(2x＋x0＋1)＝0，解得x0＝1，从而得P(1,1＋a)． 所以切线方程为y＝(1＋a)x， 联立 消去y得x3－x2－x＋1＝0， 即(x－1)2(x＋1)＝0，∴x＝1或x＝－1， 所以公共点为(1,1＋a)与(－1，－1－a)