第1章 第4节 基本不等式-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第四节　基本不等式 课程标准　掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 授课提示：对应学生用书第11页 知识点一　基本不等式 ≤ 1．基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. 2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 知识点二　几个重要的不等式 1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． 2.＋≥2(a，b同号)． 3．ab≤2(a，b∈R)． 4.≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点三　算术平均数与几何平均数 设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 1．(多选)下列不等式中，不正确的是(　　) A．a＋≥4　　　　　 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 解析：a＜0，则a＋≥4不成立，故A错误；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错误；a＝4，b＝16，则＜，故C错误；由基本不等式可知D项正确． 答案：ABC 2．设a＞0，则9a＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：C 3．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 解析：xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立． 答案：C 4．若x＞0，则关于x＋下列结论正确的是(　　) A．有最大值，且最大值为4 B．有最小值，且最小值为4 C．有最大值，且最大值为2 D．有最小值，且最小值为2 解析：x＞0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立． 答案：B 5．已知x＞2，则x＋的最小值为________． 解析：∵x＞2，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥6，当且仅当x＝4时等号成立． 答案：6 6．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积S＝xy≤2＝25，当且仅当x＝y＝5时，S取得最大值25 m2. 答案：25 授课提示：对应学生用书第12页 题型一　利用基本不等式求最值 角度(一)　利用配凑法求最值 例1　(1)若－4＜x＜1，则f(x)＝(　　) A．有最小值1　　　　 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 (2)(2023·乐山一中月考)设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________． [解析]　(1)∵－4＜x＜1，∴0＜1－x＜5， ∴f(x)＝＝ ＝－≤－×2＝－1，当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立． ∴函数f(x)有最大值－1，无最小值． (2)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． ∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为. [答案]　(1)D　(2) 　配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． 1．已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是(　　) A. B. C．3 D．9 解析：∵a>0，b>0,4a＋3b＝6， ∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤2＝×2＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3. 答案：C 2．已知不等式2x＋m＋＞0对一切x∈恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m＞－6 B．m＜－6 C．m＞－7 D．m＜－7 解析：由题意知，－m＜2x＋对一切x∈恒成立，又x≥时，x－1＞0，则2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当2(x－1)＝，即x＝2时等号成立．∴－m＜6，即m＞－6. 答案：A 3．(2021·上海卷)已知函数f(x)＝3x＋(a>0)的最小值为5，则a＝________. 解析：f(x)＝3x＋＝3x＋1＋－1≥2－1＝5，当且仅当3x＋1＝时等号成立，∴a＝9，经检验，当且仅当3x＝2时等号成立． 答案：9 角度(二)　利用常数代换法求最值 例2　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________． [解析]　因为a＋b＝1， 所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，取等号． [答案]　4 　常数代换法求解最值的基本步骤 1．根据已知条件或其变形确定定值(常数)． 2．把确定的定值(常数)变形为1. 3．把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式． 4．利用基本不等式求解最值． 4．已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则＋