第7章 第5节 空间向量及其运算-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版单选 新教材 老高考）

第五节　空间向量及其运算 课程标准　 1．空间向量及其运算 (1)经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念； (2)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 2．向量基本定理及坐标表示 (1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示． 授课提示：对应学生用书第145页 知识点一　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系与点的坐标 (1)空间一点A的坐标可以用有序实数组(x，y，z)表示； (2)建立了空间直角坐标系，空间中的点A与有序实数组(x，y，z)可以建立一一对应的关系． 2．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式： ①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝； ②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP|＝||＝. (2)中点公式： 设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则点P的坐标为. 知识点二　空间向量的有关概念、定理 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 零向量 模为0的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 单位向量 长度(模)为1的向量 共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 相反向量 模相等而方向相反的向量 共面向量 平行于同一平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb； (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb； (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点三　空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　　) A．m，n，p共线　　　　　　　 B．m与p共线 C．n与p共线 D．m，n，p共面 答案：D 2．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c　　　 B.a＋b＋c C．－a－b－c D．－a－b＋c 答案：C 3．已知平面α的一个法向量为(1,2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　) A．2　　　　　　 B．－4 C．4 D．－2 答案：C 授课提示：对应学生用书第146页 题型一　空间向量及其线性运算 　已知正方体ABCD­A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中不正确的是(　　) A．＋与＋是一对相反向量 B．－与－是一对相反向量 C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 D．－与－是一对相反向量 [解析]　A中，＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝0，正确； B中，－＝，－＝，＝，错误； C中，(＋＋＋)＋(＋＋＋)＝0，正确； D中，－＝，－＝，＋＝0，正确． [答案]　B 　用已知向量表示某一向量的三个关键点 1．用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． 2．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． 3．在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简－－＝________； (2)用，，表示，则＝________. 解析：(1)－－＝(＋)－－＝＋(＋)－－＝. (2)＝＋＝＋ ＝(＋)＋ ＝＋＋. 答案：(1)　(2)＋＋ 题型二　共线、共面向量定理的应用 例2　(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)