第6章 第4节 数列求和-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版单选 新教材 老高考）

第四节　数列求和 课程标准　1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能够利用公式求数列的前n项和．　2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．　3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前n项和相关的问题． 授课提示：对应学生用书第124页 知识点　数列前n项和的求法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 4．倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 5．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是(　　) A．16　　　　　　　 B．20 C．33 D．120 解析：由已知得a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33. 答案：C 2．(2023·郑州调研)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝7，S6＝63，则数列{nan}的前2 022项和为(　　) A．－3＋2 021×22 021 B．3＋2 019×22 022 C．1＋2 021×22 021 D．1＋2 021×22 022 答案：D 3．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4，则数列{an＋bn}的前n项和为________． 答案：n2＋ 4.＋＋…＋＝________. 答案： 5．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________. 解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，② ①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 答案：(n－1)2n＋1＋2 授课提示：对应学生用书第124页 题型一　分组求和与并项求和 例1　(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． [解]　(1)因为bn＝a2n，所以b1＝a2＝a1＋1＝2， b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a1＋1＋3＝a1＋4＝5. 由题意得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1， 所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1. (2)当n为奇数时，an＝an＋1－1. 设数列{an}的前n项和为Sn， 则S20＝a1＋a2＋…＋a20 ＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20) ＝[(a2－1)＋(a4－1)＋…＋(a20－1)]＋(a2＋a4＋…＋a20) ＝2(a2＋a4＋…＋a20)－10， 由(1)可知a2＋a4＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10＝10×2＋×3＝155， 故S20＝2×155－10＝300，即{an}的前20项和为300. 　1.分组转化法求和的常见类型主要有：分段型(如①an＝②an＝2n＋3n－1)，周期型(如an＝sin)． 2．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 　已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. 当n＝1时，a1＝1满足an＝n， 故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－