第2章 第3节 幂函数与二次函数-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版单选 新教材 老高考）

第三节　幂函数与二次函数 课程标准　1.通过具体实例，理解幂函数的概念．　2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，理解它们的变化规律．　3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 授课提示：对应学生用书第29页 知识点一　幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． 2．5个简单的幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞， 0)和(0， ＋∞)上 单调递减 图象 知识点二　二次函数 二次函数的图象和性质 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) a＞0 a＜0 图象 定义域 R 值域 单调性 在上单调递减，在上单调递增　　 　在 上单调递增，　 在 上单调递减　　 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图象特点 对称轴：x＝－； 顶点： 1．(2023·曲阜调研)函数y＝(m2＋2m－2)x是幂函数，则m＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．－3 C．－3或1 D．2 解析：由题意，得解得m＝－3. 答案：B 2．(2023·三明模拟)函数f(x)＝xa＋b，不论a为何值，f(x)的图象均过点(m,0)，则实数b的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：∵y＝xa过定点(1,1)，∴f(x)＝xa＋b过定点(1,1＋b)，结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1. 答案：A 3．函数y＝x2－x＋1，x∈[－1,1]的最大值与最小值之和为(　　) A．1.75 B．3.75 C．4 D．5 解析：函数y＝x2－x＋1图象的对称轴为直线x＝，则y＝x2－x＋1在上单调递减，在上单调递增，∴ymax＝(－1)2－(－1)＋1＝3，ymin＝2－＋1＝，∴ymax＋ymin＝3＋＝3.75. 答案：B 4．(易错题)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2) 解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，所以a＝2时，成立；当a－2≠0，即a≠2时，a满足解得－2＜a＜2.综上，可知a的取值范围是(－2,2]． 答案：C 5．(易错题)已知幂函数f(x)＝x－.若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围为________． 解析：由题意知解得3＜a＜5. 答案：(3,5) 授课提示：对应学生用书第30页 题型一　幂函数的图象与性质 　(1)已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2，8)，下列说法正确的是(　　) A．函数y＝xα的图象过原点 B．函数y＝xα是偶函数 C．函数y＝xα是单调减函数 D．函数y＝xα的值域为(0，＋∞) (2)已知函数f(x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y＝f(x)的图象的是(　　) [解析]　(1)因为幂函数y＝xα的图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以y＝x3.函数y＝x3的图象过原点，所以A选项中说法正确；函数y＝x3是奇函数，所以B选项中说法错误；函数y＝x3在R上递增，所以C选项中说法错误；函数y＝x3值域为R，所以D选项中说法错误． (2)函数f(x)＝xk(k∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所以C中函数图象不是函数y＝f(x)的图象． [答案]　(1)A　(2)C　 　1.对于幂函数图象只要掌握住在第一象限内三条线把第一象限划分为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 　若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　　　　B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析：因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝.因为y＝是减函数，所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c. 答案：D 题型二　二次函数的解析式 例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解]　法一(利用二次函数的一般式)： 设f(x)