第5章 数列-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版 老教材 老高考）

第一节　数列的概念与简单表示法 命题分析预测 学科核心素养 本节是高考的热点，主要考查：(1)由数列的递推关系求通项公式；(2)由an与Sn的关系求通项公式；(3)利用数列的函数性质求最值等；主要以填空题、解答题的形式呈现，难度不大. 本节通过an与Sn的关系以及递推数列考查考生的数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养. 授课提示：对应学生用书第118页 知识点一　数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 知识点二　数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 1.数列与函数：数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，… ，f(n)，就是数列{an}． 2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．　 1．已知数列{an}为，1，，，…，则可作为数列{an}的通项公式的是(　　) A．an＝　　　　　 B．an＝ C．an＝ D．an＝ 解析：由，，，，…，归纳得an＝. 答案：C 2．(2023·郑州模拟)已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(　　) A．3不是数列{an}中的项 B．3只是数列{an}中的第2项 C．3只是数列{an}中的第6项 D．3是数列{an}中的第2项或第6项 解析：令an＝3， 即n2－8n＋15＝3， 解得n＝2或n＝6， 故3是数列{an}中的第2项或第6项． 答案：D 3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________. 答案：5n－4 4．(易错题)已知Sn＝2n＋3，则an＝________. 解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝ 答案： 知识点三　数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1>an n∈N* 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an＝C(常数) 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 按有无最大项分类 有界数列 存在一个正数M，使对于任意的n∈N*，都有|an|≤M 无界数列 不存在某一个正数M，使对于任意的n∈N*，都有|an|≤M 1．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn，若对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－3，＋∞) 解析：an＝n2＋kn，对称轴为x＝－， 在[1，＋∞)为增数列， 故－<，∴k>－3. 答案：D 2．数列的最大项为________，最小项为________． 答案：100　－98 授课提示：对应学生用书第119页 题型一　由数列的前几项写通项公式 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)，，－，，－，，…； (4)0,1,0,1，…； (5)9,99,999,999 9，…. 解：(1)符号问题可通过(－1)n的或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…， ∴an＝. (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，原数列可化为－，，－，，…， ∴an＝(－1)n·. (4)an＝ 或an＝或an＝. (5)这