第2章 函数、导数及其应用-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版 老教材 老高考）

第一节　函数及其表示 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，本节是高考中的一个热点，常以基本初等函数为载体，与不等式结合考查函数的定义域、值域、解析式的求法，尤其对分段函数的求值、求参问题考查频率较高，常以选择题或填空题的形式出现，属于中、低档题. 本节通过对函数的概念及其表示方法、分段函数的理解及应用考查数形结合思想、分类讨论思想的运用以及考生的数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养. 授课提示：对应学生用书第12页 知识点一　函数的概念 1．函数的定义 一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3．函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 4．表示函数的常用方法：列表法、图象法和解析式法． 函数问题允许多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．　 1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　) 答案：C 2．下列各组函数相等的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1(x∈R)，g(s)＝s2－2s－1(s∈Z) B．f(x)＝x－1，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝x 答案：C 知识点二　分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数． 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域． 2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．　 1．若函数f(x)＝则f(f(1))的值为(　　) A．－10　　　　B．10　　　　C．－2　　　　D．2 答案：C 2．(易错题)设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________． 答案：(－∞，－2]∪[0,10] 3．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________． 答案：－3 授课提示：对应学生用书第13页 题型一　函数的定义域与值域 角度(一)　函数的定义域 1．函数y＝的定义域为(　　) A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3] C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3] 答案：B 2．(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是________． 解析：由题意得解得x≤1且x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． 答案：(－∞，0)∪(0,1] 3．若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________． 答案：[0,3) 　求函数f(x)的定义域时，要使解析式有意义．具体如下：(1)分式中，分母不为0；(2)偶次方根中，被开方数非负；(3)对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0. 角度(二)　函数的值域 4．求下列函数的值域． (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (2)y＝； (3)y＝2x－； (4)y＝＋. 解：(1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)． (2)(分离常数法)y＝＝＝2＋， 显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法)设t＝， 则x＝t2＋1，且t≥0， ∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)， 可得函数的值域为. (4)函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数， ∴y＝＋在[1，＋∞)上为增函数， ∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞)． 　求函数值域的一般方法 (1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法；(7)导数法． 角度(三)　函数定义域与值域应用 5．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________． 解析：因为函数y＝的定义域为R， 所以mx2＋4mx＋3≠0， 所以m＝0或 即m＝0或0＜m＜， 所以实数m的取值范围是. 答案： 6．已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围． 解：令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝的值域为[0，＋∞)，则