专题10 椭圆的几何性质8种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)

专题10 椭圆的几何性质8种常见考法归类 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长B1B2＝2b，长轴长A1A2＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 F1F2＝2c 2.点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 3.离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． (2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 4.用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 5.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 6.求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 7.直线与椭圆的位置关系 （1）直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 >0 相切 一解 =0 相离 无解 <0 （2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： ①得出直线方程，设交点为，； ②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； ③写出根与系数的关系； ④将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； ⑤代入求解． 8、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 9、解决椭圆中点弦问题的两种方法： （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为， 则有。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 用标准方程研究几何性质 考点二 利用几何性质求椭圆的标准方程 考点三 求椭圆的离心率 （一）求椭圆的离心率 （二）求椭圆离心率的取值范围 （三）由椭圆的离心率求参数值 考点四 点与椭圆的位置关系 考点五 直线与椭圆的位置关系的判断 考点六 直线与椭圆的弦长和中点弦问题 考点七 直线与椭圆的最值问题 考点八 椭圆的定点、定值问题 考点一 用标准方程研究几何性质 1．（2023·全国·高二随堂练习）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： (1)； (2)； (3)