第9章 第6节 直线与抛物线的位置关系-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第六节　直线与抛物线的位置关系 课程标准　1.能解决直线与抛物线相交、相切时等有关问题．　2.在问题的解决过程中，进一步体会函数与方程的思想． 授课提示：对应学生用书第195页 知识点一　直线与抛物线的位置关系 　将直线的方程y＝kx＋m与抛物线的方程y2＝2px(p＞0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程ky2－2py＋2pm＝0. 若k＝0，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若k≠0 (1)Δ＞0⇔直线和抛物线相交，有两个交点； (2)Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个交点； (3)Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无交点． 知识点二　直线与抛物线的相交弦 　设直线y＝kx＋m交抛物线y2＝2px(p＞0)于点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点， 则|P1P2|＝ ＝|x1－x2|. 同理可得|P1P2|＝|y1－y2|(k≠0)． 这里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形： |x1－x2|＝ ， |y1－y2|＝ . 1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条　　　　　　　 B．2条 C．3条 D．4条 解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的两条直线． 答案：C 2．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝(　　) A．2 B. C．3 D．4 解析：设A，B两点的横坐标分别为x1，x2，故|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋1＝3. 答案：C 3．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　　) A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5 C．y＝x＋3 D．y＝2x－3 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 ①－②得y－y＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2，∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0. 答案：D 4．已知倾斜角为60°的直线l经过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________. 解析：直线l的方程为y＝x＋1. 由得y2－14y＋1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，所以|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16. 答案：16 授课提示：对应学生用书第196页 题型一　直线与抛物线的位置关系 例1　过点(0,3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为________． [解析]　当直线l的斜率k存在且k≠0时，由相切容易求出直线l的方程为y＝x＋3；当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点(0,0)，此时直线l的方程为x＝0.综上，过点(0,3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝x＋3或y＝3或x＝0. [答案]　y＝x＋3或y＝3或x＝0 　直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．注意二次项系数为零的情况． 　若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为(　　) A.　 B．0　　C.或0　 　D．8或0 解析：由得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2， 若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝， 综上可知，k＝0或. 答案：C 题型二　弦长问题及中点弦问题 角度(一)　弦长问题 例2　已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝________. [解析]　法一：由得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，则由抛物线的定义得 |AF|＝2，|BF|＝5，|AB|＝|4－1|＝3， cos∠AFB＝＝－. 法二：由得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，则A(1，－2)，B(4,4)，所以＝(0，－2)，＝(3,4)，cos∠AFB＝＝＝－. [答案]　－ 例3　已知斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． [解]　由题意可知，p＝2，＝1，焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义，可知 |AF|＝dA＝x1＋1，|BF|＝dB＝x2＋1， 于是|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2. 因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1,0)，所