第6章 第2节 等差数列-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第二节　等差数列 课程标准　1.能够利用公式求等差数列指定项、前n项和．　2.会利用等差数列的定义、等差中项证明数列是等差数列． 3．熟练掌握利用等差数列的性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值． 授课提示：对应学生用书第116页 知识点一　等差数列的有关概念 1．定义 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，A＝. 知识点二　等差数列的有关公式 1．通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数． 2．前n项和公式 Sn＝,Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项． 1．在等差数列{an}中，已知a3＋a5＋a7＝15，则该数列前9项和S9＝(　　) A．18　　　　　　　　 B．27 C．36 D．45 解析：在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＝3a5＝15，a5＝5，所以S9＝×9＝×9＝9a5＝9×5＝45. 答案：D 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝(　　) A．12 B.8 C．20 D．16 解析：∵S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，S4＝8，S8－S4＝12，∴S12－S8＝16，∴S16－S12＝20，即a13＋a14＋a15＋a16＝20. 答案：C 3．(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，且满足a1＋5a3＝S8，则下列选项正确的有(　　) A．a10＝0 B.S7＝S12 C．S10最小 D．S20＝0 解析：因为{an}是等差数列，不妨设数列{an}的公差为d，由a1＋5a3＝S8，可得a1＋9d＝0，即a10＝0，故A正确；S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，故B正确；当d＞0时，则S9或S10最小，当d＜0时，则S9或S10最大，故C错误；又S19＝19a10＝0，a20≠0，所以S20≠0，故D错误． 答案：AB 4．(易错题)一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　) A．d＞ B.d＜ C.＜d＜ D.＜d≤ 解析：由题意可得即 解得＜d≤. 答案：D 5．(2021·上海卷)已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则a10＝________. 解析：设公差为d，则a10＝a1＋9d＝21. 答案：21 6．等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝2，S3＝12，则a6＝________. 解析：设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12. 答案：12 授课提示：对应学生用书第117页 题型一　等差数列基本量的计算 例1　记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通项公式； (2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围． [解]　(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n. (2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N+}． 　解答等差数列运算问题的通法 1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． 2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a1，an，d，n，Sn五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． 　(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________. 解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25. 法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25. 答案：25 题型二　等差数列的判定与证明 例2　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个