第5章 第3节 平面向量的数量积-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第三节　平面向量的数量积 课程标准　1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积．　2.通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．　3.能用坐标进行平面向量的数量积运算，并能用坐标表示平面向量垂直的条件． 授课提示：对应学生用书第101页 知识点　平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180° θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b 2.平面向量的数量积 (1)向量的数量积的定义：已知两个非零向量a和b，夹角记为〈a，b〉或θ，|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝|a||b|cos θ. 规定零向量与任一向量的数量积为0. (2)投影 ①如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′.得到a在b上的投影γ＝，γ称为投影向量． ②向量的数量积a·b的几何意义：b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|·cos θ的乘积． (3)数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ： ①交换律：a·b＝b·a； ②与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)； ③关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (4)数量积的性质： ①若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|·cos〈a，e〉； ②若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔2a⊥b； ③a·a＝|a|2，即|a|＝； ④cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； ⑤|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 3．向量数量积的坐标表示 (1)已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a·b＝x1x2＋y1y2. (2)结论： ①设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝. ②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则a·b＝|a|·|b|cos θ＝x1x2＋y1y2 cos θ＝＝(|a||b|≠0)． 1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　) A．12　　　　　　　　　 B．6 C．3 D．3 答案：B 2．(易错题)已知两个非零向量a与b的夹角为θ，则“a·b>0”是“θ为锐角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 答案：B 4．设向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2,1)，且(a－λb)⊥c，则λ＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 解析：由题得a－λb＝(1＋λ，1－3λ)，由(a－λb)⊥c，从而2×(1＋λ)＋1×(1－3λ)＝0，解得λ＝3. 答案：A 授课提示：对应学生用书第102页 题型一　平面向量数量积的运算 例1　已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2.若E，F分别为AB，BC的中点，则·＝(　　) A．8　　　　　　　 B．10 C．12 D．14 [解析]　法一(定义法)：根据题意，得·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋2×1×cos 0＋2×4×cos 0＋0＝10. 法二(坐标法)：以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A(0,0)，B(4,0)，C(4,2)，D(0,2)． ∵E，F分别为AB，BC的中点，∴E(2,0)，F(4,1)． ∵＝(2，－2)，＝(4，－1)，∴·＝2×4＋(－2)×(－1)＝10. [答案]　B 　求向量a，b的数量积a·b的三种方法 1．若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算． 2．根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解． 3．若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解． 　在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　) A．－15 B．－9 C．－6 D．0 解析：连接OA(图略)．在△ABC中，＝－＝3－3＝3(－)－3(－)＝3(－)， ∴·＝3(－)·＝3(·－2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6. 答案：C 题型