第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第二节　平面向量基本定理及坐标表示 课程标准　1.理解平面向量基本定理及其意义．　2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．　4.能用坐标表示平面向量共线的条件． 授课提示：对应学生用书第97页 知识点一　平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量{e1，e2}叫作表示这一平面内所有向量的一个基，记为{e1，e2}． 知识点二　平面向量的坐标运算 1．平面向量的正交分解 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解． 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ . (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A＝(x2－x1，y2－y1)， |A|＝ . 3．平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 1．(多选)e1，e2为不共线的两个向量，下列命题正确的是(　　) ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①　　　　　　　　　 B．② C．③ D．④ 答案：AD 2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　) A．(2,2)　　　　　　　　 B．(3，－1) C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1) 答案：D 3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________. 答案：－ 4．已知O为坐标原点，向量＝(2,3)，＝(4，－1)，且＝3，则||＝________. 答案： 授课提示：对应学生用书第98页 题型一　平面向量基本定理的应用 角度(一)　用基底表示向量 例1　在▱ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，则＝(　　) A.－　　　　　 B.－ C.－ D.＋ [解析]　因为F为AE的中点，E为CD的中点， 所以＝＋＝－＋＋＝－＋－＝－. [答案]　A 1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°.若＝a，＝b，＝c. 用基底表示向量. 解：由题意可得， ＝＋＝＋＝ ＋＝c＋， 故＝－a＋b＋c. 角度(二)　利用基底求参数 例2　如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　) A．1 B. C. D. [解析]　∵E为线段AO的中点，∴＝＋＝＋×＝＋＝λ＋μ， ∴λ＋μ＝＋＝. [答案]　B 2．设M是△ABC所在平面上的一点，＋＋＝0，D是AC的中点，t＝，则实数t的值为(　　) A. B. C．2 D．1 解析：因为D是AC的中点，所以＋＝2. 又因为＋＋＝0， 所以＋(＋)＝＋＝0， 所以＝. 因为t＝，所以t＝. 答案：B 角度(三)　利用基本定理确定点 例3　(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC的面积的 [解析]　对于A，由＝＋，得－＝－，即＝，则点M是边BC的中点，所以A选项正确． 对于B，由＝2－，得－＝－，所以＝，则点M在边CB的延长线上，所以B选项错误． 对于C，设BC边的中点为D，由＝－－，得＝＋＝2，由重心定义可知C选项正确． 对于D，由＝x＋y，且x＋y＝，得2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，设D为△ABC所在平面内异于点M的一点，且＝2，所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC的面积的，所以D选项正确． [答案]　ACD 　应用平面向量基本定理应注意的问题 1．只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． 2．利用已知向量表示未知向量，实