第4章 第3节 第3课时 简单的三角恒等变换-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第三课时　简单的三角恒等变换 课程标准　能运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)． 授课提示：对应学生用书第78页 知识点　半角公式 (1)sin＝±； (2)cos＝±； (3)tan＝±＝＝. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． 1．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(　　) A.　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：若5π<θ<6π，则<<，则sin＝ －＝－. 答案：D 2．已知cos θ＝－，<θ<3π，则sin等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：因为<θ<3π，所以＜＜， 所以sin<0. 因为cos θ＝1－2sin2， 所以sin＝－＝－＝－. 答案：D 3．化简2＋2sin2得(　　) A．2＋sin α B．2＋sin C．2 D．2＋sin 解析：原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2. 答案：C 4．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为________． 解析：因为f(x)＝sin2x＝， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 答案：π 5.－＝________. 解析：原式＝＝＝＝4. 答案：4 授课提示：对应学生用书第79页 题型一　三角函数式的化简 例1　(1)当3π＜α＜4π时， － ＝(　　) A.sin　　 B．－sin C.sin D．－sin (2)··＝________. [解析]　(1) －＝－＝－， ∵3π＜α＜4π，∴＜＜2π，∴sin＜0，cos＞0. ∴原式＝sin＋cos＝sin. (2)原式＝··＝·＝·＝＝＝tan. [答案]　(1)A　(2)tan 　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．利用半角公式求值的思路 (1)看角：看已知角与待求角的二倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号做准备． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． 提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 1.(0＜α＜π)＝________. 解析：∵0＜α＜π，∴tan＝＝＝，∴(1＋cos α)tan＝sin α . 又∵cos＝－sin α，且1－cos α＝2sin2， ∴原式＝＝＝－. ∵0＜α＜π，∴0＜＜，∴sin＞0. ∴原式＝－2cos. 答案：－2cos 2．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan. 解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan<0， ∴tan＝－＝－＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角， ∴sin θ＝－＝－＝－， ∴tan＝＝＝－2. 题型二　三角函数求值 角度(一)　给角求值 例2　(1)cos 20°·cos 40°·cos(－460°)＝________； (2)＝________. [解析]　(1)cos 20°·cos 40°·cos(－460°) ＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－ ＝－ ＝－ ＝－＝－＝－. (2)＝ ＝＝ ＝. [答案]　(1)－　(2) 　三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值． 1．coscoscos＝________. 解析：∵cos＝－cos，cos＝－cos， ∴coscoscos＝coscoscos＝＝ ＝＝＝－. 答案：－ 2.＝________. 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝－4. 答案：－4 3．求值：tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1)＝________. 解析：原式＝·cos 10°·＝·cos 10°· ＝·cos 10°· ＝＝＝－1. 答案：－1 角度(二)　给值求值 例3　已知cos＝.若π＜x＜π，则的值为________． [解析]　法一：由π＜x＜π，得π＜x＋＜2π. 又cos＝，所以sin＝－， 所以cos x＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－， 从而sin x＝－，tan x＝7. 则＝＝＝－. 法二：由法一得tan＝－. 又sin 2x＝－cos＝－cos ＝－2cos2＋1＝－＋1＝. 则＝ ＝＝＝sin 2x·＝sin 2x·tan＝×＝－. [答案]　－ 　“给值求值