第11章 计数原理、概率、随机变量及其分布-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版单选 新教材 老高考）

第一节　计数原理、排列与组合 课程标准　1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义．　2.通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 授课提示：对应学生用书第217页 知识点一　计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称“加法原理”)． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种方法． 知识点二　排列与排列数 1．排列与排列数 (1)排列 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A. 2．排列数公式及性质 (1)排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝(m，n∈N＋，且m≤n)． (2)性质：①A＝n！； ②0！＝1. 知识点三　组合与组合数 1．组合与组合数 (1)组合 从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C. 2．组合数的公式及性质 (1)组合数公式 C＝ ＝ ＝(m，n∈N＋，且m≤n)． (2)组合数性质 ①C＝1； ②C＝； ③C＝C＋C. 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有(　　) A．30　　　　　　　　　 B．20 C．10 D．6 答案：D 2．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 答案：C 3．(易错题)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有__________条不同的路线． 答案：32 4．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有__________种． 答案：350 授课提示：对应学生用书第218页 题型一　计数原理 角度(一)　分类加法计数原理 例1　如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是(　　) A．6　　　　　　　　 B．10 C．12 D．24 [解析]　将题图中左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3，右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论：若先取1，则有12345,12453,12435,14523,14235,14253，共6种取法；若先取4，则有45123,41235,41523,41253，共4种取法，故共有6＋4＝10种取法． [答案]　B 　运用分类加法计数原理的两个注意点 1．根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏． 2．分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复． 1．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为__________． 解析：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)……，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)． 所以所有凸数共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)． 答案：240 角度(二)　分步乘法计数原理 例2　(2023·新余模拟)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为(　　) A．120 B．240 C．360 D．480 [解析]　第一步，从甲、乙、丙三人中选一个加到前排，有3种方法；第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种方法；第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人，有5种方法，此时形成了6个空，任选一