第9章 圆锥曲线-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版单选 新教材 老高考）

第一节　椭圆 课程标准　1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．　2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．　3.了解椭圆的简单应用． 授课提示：对应学生用书第174页 知识点一　椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点． 知识点二　椭圆的标准方程和简单几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 1．(基本概念)已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．5 D．7 答案：D 2．(易错题)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对 答案：C 3．(基本运算)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　) A.　　　　　　　　 B. C．2－ D.－1 答案：D 4．(易错题)椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________. 答案：4或8 授课提示：对应学生用书第175页 题型一　椭圆的定义及其应用 例1　(1)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．5 C．8 D．10 (2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 (3)如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为(　　) A. B. C. D. [解析]　(1)依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. (2)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1. (3)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16， 由余弦定理得 4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|， ∴|PF1||PF2|＝， ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝. [答案]　(1)D　(2)D　(3)D 　椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等． 1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13　　　　　　　　　　 B．12 C．9 D．6 解析：∵M在椭圆C：＋＝1上，且a＝3， ∴|MF1|＋|MF2|＝6. ∵≥ ， ∴|MF1|·|MF2| ≤2＝9， 当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立． 答案：C 2．已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　) A.＋＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析：由题意得|PA|＝|PB|， ∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2， ∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝， ∴动点P的轨迹方程为＋＝1. 答案：D 3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________. 解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r