第7章 立体几何与空间向量-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版单选 新教材 老高考）

第一节　基本立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积 课程标准　1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．　2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体)的直观图．　3.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 授课提示：对应学生用书第129页 知识点一　简单几何体 1．简单旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到； (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到； (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到； (4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到． 2．简单多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等才上下底面是全等的多边形； (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形； (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 知识点二　直观图 1．画法 常用斜二测画法． 2．规则 (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 知识点三　柱、锥、台和球的面积和体积 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积 侧面积 体积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和； (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环，它们的表面积等于侧面积与底面面积之和； (3)长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则体对角线长为. 1．如图，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是(　　) A．棱台　　B．四棱柱　　C．五棱柱　　D．六棱柱 答案：C 2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为(　　) A．24 B．12 C．48 D．20 答案：A 3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π B.π C．8π D．4π 答案：A 4．(易错题)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________． 答案：1∶47 5.母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的底面圆的半径为__________，体积为__________． 解析：设该圆锥的底面圆的半径为r，高为h， ∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于， ∴侧面展开图的弧长为5×＝8π. 又弧长＝底面周长， 即8π＝2πr，∴r＝4， ∴圆锥的高h＝＝3， ∴圆锥的体积V＝×π×42×3＝16π. 答案：4　16π 授课提示：对应学生用书第130页 题型一　基本立体图形 　下列说法不正确的是(　　) A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 [解析]　A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；易知D正确． [答案]　A 　空间几何体概念辨析题的常用方法 定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定 反例法 通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可 　(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①)．半正多面体是由两种或两种以上的