第6章 数列-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版单选 新教材 老高考）

第一节　数列的概念 课程标准　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、公式法)．　2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．　3.能够利用an与Sn的关系求通项公式an.　4.掌握利用递推关系构造等差或等比数列求通项公式an的方法． 授课提示：对应学生用书第113页 知识点一　数列的有关概念 概念 含义 数列 按一定次序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式 前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点二　数列的函数特性 1．递增数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an.那么这个数列叫作递增数列． 2．递减数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列． 3．常数列 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． 知识点三　数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 1．已知数列1,2，，，，…，则2在这个数列中的项数是(　　) A．16　　　　　　　　 B．24 C．26 D．28 答案：C 2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于(　　) A. B. C. D．30 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30. 答案：D 3．若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为(　　) A. B. C. D. 答案：A 4．根据如图所示的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________. 答案：5n－4 5．(2023·衡阳高三联考)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则a2＝________，通项公式an＝______. 答案：　4－ 6．(易错题)已知Sn＝2n＋3，则an＝________. 解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝ 答案： 授课提示：对应学生用书第114页 题型一　用观察法求通项公式 例1　写出下列各数列的一个通项公式． (1)－，，－，，…； (2)，2，，8，，…； (3)5,55,555,5 555，…. [解]　(1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n×. (2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝. (3)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)． 　由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． 2．具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+处理． 　根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： (1)1，，，，，…； (2)1，，，，，…. 解：(1)数列可变形为，，，，，…， ∴an＝. (2)数列可变形为， ， ， ， ，…，即，，，，，… ∴an＝. 题型二　由Sn与an的关系求通项公式 例2　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________； (2)(2023·湛江模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＋2an＝2(n∈N+)，则an＝________. 第六章　数列高考总复习　数学 [解析]　(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， ∵a