2024届高考数学一轮复习 讲义：数列求和

数列求和 一、数列求和：（分组求和、错位相减、裂项相消） 1．分组求和：【适用于等差、等比数列以加减的形式构成的新数列的前n项和】 ①等差数列的前和的求和公式：． ②等比数列前项和公式：或 ， ． 2．错位相减：【适用于等差、等比数列以乘、除的形式构成的新数列的前n项和】 如：若，其中是等差数列，是公比为等比数列， 令，则两式错位相减并整理即得 3．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法． 适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等．用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1），特别地当时，； （2），特别地当时，； （3） （4） （5） 4． 特殊数列的前项和 ①重要公式：（1） （2） （3） （4） ②等差数列中，； ③等比数列中，． 【注】 利用裂项相消法求数列求和时： （1）裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数； （2）裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 应用错位相减法求和时需注意： ①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n． 典型例题 例1在等差数列中，=,则数列的前11项和=（ ） A．24 B．48 C．66 D．132 例2已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A． B． C． D． 例3已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为（ ） A． B． C． D． 例4已知数列满足，则的前项和= ． 例5已知是递增的等比数列，，成等差数列。 （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，，求数列的前项和. 例6已知等比数列{}的公比为，且满足，++=，=． （1）求数列{}的通项公式； （2）记数列{}的前项和为 ，求证：． 例7设为等差数列的前项和，已知， ．　 （1）求的通项公式； （2）令， ，若对一切成立，求实数的最小值． 例8记Sn为数列{an}的前n项和，已知，． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若，求满足的正整数n的最大值． 例9已知数列满足，为数列的前项和 （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和 例10设等比数列的公比为，是的前项和，已知，，成等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，若成立，求． 举一反三 1．设数列中，若，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，则数列的前2014项和为（ ） A． B． C． D． 2．数列的前项的和等于（ ） A． B． C． D． 3．已知正项数列的前项和为，且，则数列的前999项的和为（ ） A． B． C． D． 4．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( ) A．4072 B．2026 C．4096 D．2048 5．计算的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，数列是公比为2的等比数列，则=______。 7．已知是等差数列，其前项和为.若，，成等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 8．Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，=. （Ⅰ）求{ an }的通项公式； （Ⅱ）设 ,求数列{ bn }的前n项和. 9．在公比为2的等比数列中,成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若,求数列的前项和. 10．已知等差数列满足，，等比数列的各项均为正数，且，. （1）求和的通项公式； （2）设为数列的前项和，求满足的最大正整数. 课后练习 1．数列的前项和为（ 　）． A． B． C． D． 2．设是数列的前n项和，且，，则________． 3．已知数列的通项公式：，则它的前项和是（ ） A． B． C． D． 4．等差数列前项和为，，则（ ） A．32