第五章 5.1.2 数据的数字特征(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导（人教B版2019）

５. １. ２　 数据的数字特征 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 理解数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差和标准差的意义和作用. ２. 会计算数据的这些数字特征ꎬ并能解决有关实际问题. 核心素养 数据分析　 数学运算　 逻辑推理 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 最值 　 　 一组数据的最值指的是其中的最大值与最 小值ꎬ最值反映的是这组数最极端的情况. 一般地ꎬ最大值用 ｍａｘ 表示ꎬ最小值用 ｍｉｎ 表示. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　做一做 运动员参加体操比赛ꎬ当评委亮分后ꎬ往往 是先去掉一个最高分ꎬ去掉一个最低分ꎬ再计算 剩下分数的平均数ꎬ这是为了 ( Ｃ ) Ａ. 减少计算量 Ｂ. 避免故障 Ｃ. 剔除异常值 Ｄ. 活跃赛场气氛 知识点 ２ 平均数 　 　 １. 定义:如果给定的一组数是 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘｎꎬ 则这组数的平均数为 ｘ ＝ １ｎ (ｘ１ ＋ ｘ２ ＋􀆺 ＋ ｘｎ) . 这一公式在数学中常简记为 ｘ ＝ １ｎ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ . ２. 求和符号∑具有的性质 (１)∑ ｎ ｉ ＝ １ (ｘｉ ＋ ｙｉ) ＝∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ ＋∑ ｎ ｉ ＝ １ ｙｉ . (２)∑ ｎ ｉ ＝ １ (ｋｘｉ) ＝ ｋ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ . (３)∑ ｎ ｉ ＝ １ ｔ ＝ ｎｔ. ３.如果 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘｎ 的平均数为 ｘꎬ且 ａꎬｂ 为常 数ꎬ则 ａｘ１ ＋ ｂꎬａｘ２ ＋ ｂꎬ􀆺ꎬａｘｎ ＋ ｂ 的平均数是 ａ ｘ ＋ ｂ. 　 　 思考:(１) ｘ５ ＋ ｘ６ ＋ 􀆺 ＋ ｘ１５ 如何用符号∑ 表示? (２)如何证明∑ ｎ ｉ ＝ １ (ｋｘｉ) ＝ ｋ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ? 　 　 做一做 (江苏高考题)已知一组数据 ４ꎬ６ꎬ５ꎬ８ꎬ７ꎬ６ꎬ 那么这组数据的平均数为 　 　 　 　 . 知识点 ３ 中位数 　 　 １. 如果一组数有奇数个数ꎬ并按照从小到 大排列后为 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘ２ｎ ＋１ꎬ则称 ｘｎ ＋１为这组数 的中位数. ２. 如果一组数有偶数个数ꎬ且按照从小到 大排列后为 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘ２ｎꎬ则称 ｘｎ ＋ ｘｎ ＋１ ２ 为这组 数的中位数. 知识点 ４ 众数 　 　 一组数据中ꎬ某个数据出现的次数称为这 个数据的频数ꎬ出现次数最多的数据称为这组 数据的众数. 　 　 做一做 已知一组数据的平均数是 ｘꎬ众数是 ｍꎬ中位 数是 ｎꎬ将每个数据加上 ３ 后得到一组新数据ꎬ则 这组新数据的平均数为 　 　 　 　 ꎬ众数为 　 　 　 　 ꎬ中位数为 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 052 {#{QQABKYqAogiIABIAAAhCQwFwCkEQkACCAAoGRAAEIAIBAQFABAA=}#} 　 　 　 知识点 ５ 百分位数 　 　 １. 定义:一组数的 ｐ％ ( ｐ∈(０ꎬ１００))分位 数指的是满足下列条件的一个数值:至少有 ｐ％ 的数据不大于该值ꎬ且至少有(１００ － ｐ)％ 的数 据不小于该值. ２. 计算方法: 设一组数按照从小到大排列后为 ｘ１ꎬｘ２ꎬ 􀆺ꎬｘｎꎬ计算 ｉ ＝ ｎｐ％ 的值ꎬ如果 ｉ 不是整数ꎬ设 ｉ０ 为大于 ｉ 的最小整数ꎬ取 ｘｉ０为 ｐ％ 分位数ꎻ如果 ｉ 是整数ꎬ取 ｘｉ ＋ ｘｉ ＋１ ２ 为 ｐ％ 分位数. 规定:０ 分位数 是 ｘ１(即最小值)ꎬ１００％ 分位数是 ｘｎ (即最大 值) . 　 　 思考:中位数和百分位数的关系是什么? 　 　 做一做 (２０２３􀅰北京市通州区期末)已知一组样本 数据依次为:３ꎬ９ꎬ０ꎬ４ꎬ１ꎬ６ꎬ６ꎬ８ꎬ２ꎬ７. 该组数据 的 ５０％ 分位数是 　 　 　 　 ꎬ７５％ 分位数是 　 　 　 　 . 知识点 ６ 极差 　 　 一组数的极差指的是这组数的最大值减去 最小值所得的差. 知识点 ７ 方差与标准差 　 　 (１)如果 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘｎ 的平均数为 ｘꎬ则方差 ｓ２ ＝ １ｎ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ( ｘｉ － ｘ) ２ꎬ方差的算术平方根称为标 准差. (２)如果 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘｎ 的方差为 ｓ２ꎬ且 ａꎬｂ 为常数ꎬ则 ａｘ１ ＋ ｂꎬａｘ２ ＋ ｂꎬ􀆺ꎬａｘｎ ＋ ｂ 的方差 是 ａ２ ｓ２ . 　 　 思考:(１)