5.5.2 简单的三角恒等变换(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

练案[５４] 第五章　 三角函数 ５. ５　 [５. ５. ２　 简单的三角恒等变换] Ａ 组􀅰基础自测 一、选择题 １. １ ＋ ｃｏｓ ２６０°２ 的值等于 ( Ａ ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ. ｓｉｎ ４０° Ｂ. ｃｏｓ ４０° Ｃ. ｃｏｓ １３０°　 Ｄ. ± ｃｏｓ ５０° ２. (多选题)下列各式与 ｔａｎ α 相等的是 ( 　 ) Ａ. １ － ｃｏｓ ２α１ ＋ ｃｏｓ ２α Ｂ. ｓｉｎ ２α １ ＋ ｃｏｓ ２α Ｃ. ｓｉｎ ２α１ － ｃｏｓ ２α Ｄ. １ － ｃｏｓ ２α ｓｉｎ ２α ３. 若 ｔａｎ θ ＋ １ｔａｎ θ ＝ ４ꎬ则 ｓｉｎ ２θ ＝ ( Ｄ ) Ａ. １５ Ｂ. １ ４ Ｃ. １ ３ Ｄ. １ ２ ４. 设 ３π < α < ４πꎬｃｏｓ α２ ＝ ｍꎬ那么 ｃｏｓ α ４ 等于 ( Ｂ ) Ａ. ｍ ＋ １２ Ｂ. － ｍ ＋ １ ２ Ｃ. － １ － ｍ２ Ｄ. １ － ｍ ２ ５. 函数 ｆ(ｘ) ＝ ｓｉｎ ｘ３ ＋ ｃｏｓ ｘ ３ 的最小正周期和最 大值分别是 ( Ｃ ) Ａ. ３π 和 ２ Ｂ. ３π 和 ２ Ｃ. ６π 和 ２ Ｄ. ６π 和 ２ 二、填空题 ６. 已知 ｓｉｎ θ ＝ － ３５ ꎬ３π < θ < ７π ２ ꎬ则 ｔａｎ θ ２ ＝ 　 　 － ３　 . ７. 已知 ｃｏｓ ２α ＝ １２ ꎬ且 π ２ < α < πꎬ则 ｔａｎ α ＝ 　 　 　 　 　 　 . ８. 函数 ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ＋ π３ æ è ç ö ø ÷的最小值是　 　 　 ꎬ 最大值是　 　 　 　 . 三、解答题 ９. 证明:ｓｉｎ ２ｘ２ｃｏｓ ｘ (１ ＋ ｔａｎ ｘｔａｎ ｘ ２ ) ＝ ｔａｎ ｘ. １０. 已知 α 为钝角ꎬβ 为锐角ꎬ且 ｓｉｎ α ＝ ４５ ꎬｓｉｎ β ＝ １２１３ꎬ求 ｃｏｓ α － β ２ 与 ｔａｎ α － β ２ 的值. Ｂ 组􀅰能力提升 一、选择题 １. ｓｉｎ ８０° ＋ １ ｓｉｎ２５° － １ ＝ ( Ｃ ) Ａ. － ２２ Ｂ. ２ ２ Ｃ. － ２ Ｄ. ２ ２. 若π２ < θ < πꎬ则 １ － ｓｉｎ θ － １ ２ (１ － ｃｏｓ θ) ＝ ( Ｄ ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — ３４０ — {#{QQABIYAEogioABJAAAhCQwUwCkAQkACCAAoGhAAIMAIBwRFABAA=}#} Ａ. ２ｓｉｎ θ２ － ｃｏｓ θ ２ Ｂ. ｃｏｓ θ ２ － ２ｓｉｎ θ ２ Ｃ. ｃｏｓ θ２ Ｄ. － ｃｏｓ θ ２ ３. (多选题)设函数 ｆ(ｘ) ＝ ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ２ ＋ ｃｏｓ ２ｘꎬ则下列说 法中正确的是 ( 　 ) Ａ. ｆ(ｘ) ＝ ｆ(ｘ ＋ π) Ｂ. ｆ(ｘ)的最大值为 ３６ Ｃ. ｆ(ｘ)关于点(０ꎬ０)对称 Ｄ. ｆ(ｘ)无最小值 二、填空题 ４. 已知 ｔａｎ α２ ＝ １ ３ ꎬ则 ｃｏｓ α ＝ 　 　 　 　 . ５. 设 ０ < θ < π２ ꎬ且 ｓｉｎ θ ２ ＝ ｘ － １ ２ｘ ꎬ则 ｔａｎ θ 等于 　 　 　 　 . 三、解答题 ６. 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｓｉｎ ( ｘ２ － π ６ ) － ２ｃｏｓ ２ ｘ ４ ＋ １ꎬ ｘ∈Ｒ. (１)求函数 ｆ( ｘ)的最小正周期和单调递减 区间ꎻ (２)求函数 ｆ(ｘ)在区间 [ π３ ꎬ ２π ３ ]上的最小值ꎬ 并求出取得最值时 ｘ 的值. Ｃ 组􀅰创新拓展 　 优选法是一种具有广泛应用价值的数学方 法ꎬ著名数学家华罗庚曾为普及它作出了重 要贡献. 优选法中有一种 ０. ６１８ 法应用了黄 金分割法ꎬ “黄金分割” 的比值为 ５ － １２ ≈ ０. ６１８ꎬ这一比值也可以表示为 ｔ ＝ ２ｓｉｎ １８°ꎬ则 ｔ ４ － ｔ２ １ － ２ｓｉｎ２６３° ＝ 　 　 － ２　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋