4.5.3 函数模型的应用(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

练案[３８] 第四章　 指数函数与对数函数 ４. ５　 [４. ５. ３　 函数模型的应用] Ａ 组􀅰基础自测 一、选择题 １. “红豆生南国ꎬ春来发几枝?”如图给出了红豆 生长时间 ｔ(月)与枝数 ｙ(枝)的散点图. 那么 红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数 模型拟合最好 ( Ａ ) Ａ. 指数函数:ｙ ＝ ２ ｔ 　 　 Ｂ. 对数函数:ｙ ＝ ｌｏｇ２ ｔ Ｃ. 幂函数:ｙ ＝ ｔ３ Ｄ. 二次函数:ｙ ＝ ２ｔ２ ２. 某企业生产的一种电子产品的成本是每件 ５００ 元ꎬ计划在今后的 ３ 年内ꎬ使成本降低到 每件 ２５６ 元ꎬ则平均每年成本应降低 ( Ｃ ) Ａ. １０％ Ｂ. １５％ Ｃ. ２０％ Ｄ. ３５％ ３. 某食品的保鲜时间 ｙ(单位:小时)与储存温 度 ｘ(单位:℃)满足函数关系 ｙ ＝ ２ｋｘ ＋ｍ ( ｋꎬｍ 为常数) . 若该食品在 ０ ℃ 的保鲜时间是 ６４ 小时ꎬ在 １８ ℃的保鲜时间是 １６ 小时ꎬ则该食 品在 ３６ ℃的保鲜时间是 ( Ａ ) Ａ. ４ 小时 Ｂ. ８ 小时 Ｃ. １６ 小时 Ｄ. ３２ 小时 ４. 某一辆汽车经过多次实验得到ꎬ每小时耗油 量 Ｑ(单位:Ｌ)与速度 ｖ(单位:ｋｍ / ｈ)(０≤ｖ≤ １２０)的下列数据: ｖ ０ ４０ ６０ ８０ １２０ Ｑ ０. ０００ ６. ６６７ ８. １２５ １０. ０００ ２０. ０００ 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系ꎬ 现有以下四种模型供选择: 甲:Ｑ ＝ ａｖ２ ＋ ｂｖ ＋ ｃꎬ乙:Ｑ ＝ ａｖ３ ＋ ｂｖ２ ＋ ｃｖꎬ 丙:Ｑ ＝０.５ｖ ＋ ａꎬ丁:Ｑ ＝ ｋｌｏｇａｖ ＋ ｂ.其中 ａꎬｂꎬｃ 均 不为０ꎬ其中最符合实际的函数模型为 ( Ｂ ) Ａ. 甲 Ｂ. 乙 Ｃ. 丙 Ｄ. 丁 ５. 地震以里氏震级来度量地震的强度ꎬ若设 Ｉ 为 地震时所散发出来的相对能量ꎬ则里氏震级 γ 可定义为 γ ＝ ０. ６ｌｇ Ｉ. 在 ２０２１ 年 ３ 月下旬ꎬＡ 地区发生里氏３. １级地震ꎬＢ 地区发生里氏７. ３ 级地震ꎬ则 Ｂ 地区地震所散发出来的相对能 量是 Ａ 地区地震所散发出来的相对能量的 　 　 　 　 倍 ( Ｃ ) Ａ. ７ Ｂ. １０６ Ｃ. １０７ Ｄ. １０８ 二、填空题 ６. 某商人购货ꎬ进价已按原价 ａ 扣去 ２５％ ꎬ他希 望对货物订一新价 ｂꎬ以便按新价让利 ２０％ 销 售后仍可获得售价 ２５％ 的纯利ꎬ则此商人经 营这种货物的件数 ｘ 与按新价让利总额 ｙ 之 间的函数关系式是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . ７. 基础建设对社会经济效益产生巨大的作用ꎬ 某市投入 ａ 亿元进行基础建设ꎬ ｔ 年后产生 ｆ( ｔ) ＝ ａｅ ｔｌｎ ２ ４ 亿元社会经济效益. 则该市经过 　 　 １２　 年ꎬ该项投资产生的社会经济效益 是投资额的 ８ 倍. ８. 某农场种植一种农作物ꎬ为了解该农作物的 产量情况ꎬ现将近四年的年产量 ｆ( ｘ) (单位: 万斤)与年份 ｘ(记 ２０１５ 年为第 １ 年)之间的 关系统计如下: ｘ １ ２ ３ ４ ｆ(ｘ) ４. ００ ５. ６２ ７. ００ ８. ８６ 则 ｆ( ｘ) 近似符合以下三种函数模型之一: ①ｆ(ｘ) ＝ ａｘ ＋ ｂꎻ②ｆ(ｘ) ＝ ２ｘ ＋ ａꎻ③ｆ( ｘ) ＝ ｘ２ ＋ ｂ. 你认为最适合的函数模型的序号是 　 　 ①　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — ３１３ — {#{QQABIYCAoggoABIAAQgCQwEwCEAQkAACAAoGQBAAMAIBgRFABAA=}#} 三、解答题 ９. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规 律来描述:设物体的初始温度是 Ｔ０ꎬ经过一定 时间 ｔ 后的温度是 Ｔꎬ则 Ｔ － Ｔａ ＝ (Ｔ０ － Ｔａ)􀅰 １ ２ æ è ç ö ø ÷ ｔ ｈ ꎬ其中 Ｔａ 表示环境温度ꎬｈ 称为半衰期. 现有一杯用 ８８ ℃ 热水冲的速溶咖啡ꎬ放在 ２４ ℃的房间中ꎬ如果咖啡降温到 ４０ ℃ 需要 ２０ ｍｉｎꎬ那么降温到 ３５ ℃ꎬ需要多少时间? (参考数据:ｌｇ １１≈１. ０４ꎬｌｇ ２≈０. ３０) １０. 汽车驾驶员发现前