第5章 三角函数 章末梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

章末梳理 知识结构􀅰理脉络 要点梳理􀅰晰精华 　 　 (１)终边相同角的集合:　 Ｓ ＝ {β ｜ β ＝ α ＋ ｋ 􀅰３６０°ꎬｋ∈Ｚ}　 . (２)弧长公式: ｌ ＝ αＲꎻ扇形的面积公式: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (３)三角函数的单位圆概念:设角 α 的终边 与单位圆的交点坐标为(ｘꎬｙ)ꎬ则　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (４)同角三角函数基本关系式:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (５)六组诱导公式统一的记忆口诀:　 奇变 偶不变ꎬ符号看象限　 . (６)函数 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 的性质 ①定义域:Ｒ. ②值域:　 [ － １ꎬ１]　 . ③周期性:最小正周期为　 ２π　 . ④单调区间:增区间　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎬ减区间 [ π２ ＋ ２ｋπꎬ ３π ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 193 {#{QQABAYCAggiIABAAAQgCQwUgCEIQkBECAIoGAAAAIAIBgBNABAA=}#} ＋ ２ｋπ ]ꎬｋ∈Ｚ. ⑤奇偶性与对称性:　 　 　 奇　 函数ꎬ关于 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 成轴对称ꎬ关于 　 (ｋπꎬ０)ꎬｋ∈Ｚ　 成中心对称. (７)和差角公式 ｃｏｓ(α － β) ＝ 　 ｃｏｓ αｃｏｓ β ＋ ｓｉｎ αｓｉｎ β　 ꎻ ｃｏｓ(α ＋ β) ＝ 　 ｃｏｓ αｃｏｓ β － ｓｉｎ αｓｉｎ β　 ꎻ ｓｉｎ(α － β) ＝ 　 ｓｉｎ αｃｏｓ β － ｃｏｓ αｓｉｎ β　 ꎻ ｓｉｎ(α ＋ β) ＝ 　 ｓｉｎ αｃｏｓ β ＋ ｃｏｓ αｓｉｎ β　 ꎻ ｔａｎ(α － β) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎻ ｔａｎ(α ＋ β) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 　 　 (８)倍角公式 ｓｉｎ ２α ＝ 　 ２ｓｉｎ αｃｏｓ α　 ꎻｃｏｓ ２α ＝ ｃｏｓ２α － ｓｉｎ２α ＝ 　 ２ｃｏｓ２α － １　 ＝ 　 １ － ２ｓｉｎ２α 　 ꎻｔａｎ ２α ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (９)半角公式 ｓｉｎ α２ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎬｃｏｓ α ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎬｔａｎ α２ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 素养突破􀅰提技能 数学抽象 核心素养􀈀 　 　 考查方向　 三角函数的性质 　 　 典例 １ (１)函数 ｆ(ｘ) ＝ ｓｉｎ ｘ(１ － ｓｉｎ ｘ)１ － ｓｉｎ ｘ 是 ( Ｄ ) Ａ. 奇函数　 　 　 　 　 Ｂ. 偶函数 Ｃ. 既奇又偶函数 Ｄ. 非奇非偶函数 (２)关于三角函数的图象ꎬ有下列说法: ①ｙ ＝ ｓｉｎ ｜ ｘ ｜ 与 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 的图象关于 ｙ 轴 对称ꎻ ②ｙ ＝ ｃｏｓ( － ｘ)与 ｙ ＝ ｃｏｓ ｜ ｘ ｜的图象相同ꎻ ③ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜与 ｙ ＝ ｓｉｎ( － ｘ)的图象关于 ｘ 轴对称ꎻ ④ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ 与 ｙ ＝ ｃｏｓ( － ｘ)的图象关于 ｙ 轴 对称. 其中正确的是　 ②④　 . (写出所有正确说 法的序号) (３)函数 ｆ(ｘ) ＝ ｌｏｇ １ ２ ｃｏｓ ｘ 的单调递增区间 是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . [归纳提升] 　 三角函数图象与性质问题解 题思路 解决三角函数的图象和性质问题ꎬ重点应 掌握 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘꎬｙ ＝ ｃｏｓ ｘꎬｙ ＝ ｔａｎ ｘ 的图象、定义 域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质ꎬ 在此基础上掌握函数 ｙ ＝ Ａｓｉｎ (ωｘ ＋ φ)ꎬ ｙ ＝ Ａｃｏｓ(ωｘ ＋ φ)及 ｙ ＝ Ａｔａｎ(ωｘ ＋ φ)的相关性质. 在研究其相关性质时ꎬ将 ωｘ ＋ φ 看成一个整体ꎬ 利用整体代换思想解题是常见的技巧. 数学运算 核心素养􀈁 　 　 考查方向一　 三角函数式化简 　 　 典例 ２ 化简求值: (１) ２ｃｏｓ ２ｘ － １ ２ｔａｎ ( π４ － ｘ ) ｓｉｎ ２ ( π４ ＋ ｘ ) ꎻ (２)化简:ｃｏｓ ５０°( ３ － ｔａｎ １０°) ＝ 　 　 １　 . [分析] 　 (１)利用倍角公