5.5.2 简单的三角恒等变换(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

５. ５. ２　 简单的三角恒等变换 学习目标 １. 能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式. ２. 能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明. 核心素养 １. 通过公式的推导ꎬ培养逻辑推理素养. ２. 借助三角恒等变换的简单应用ꎬ提升数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 半角公式 　 　 ｃｏｓ α２ ＝ ± １ ＋ ｃｏｓ α ２ (Ｃ α ２ )ꎬ ｓｉｎ α２ ＝ ± １ － ｃｏｓ α ２ (Ｓ α ２ )ꎬ ｔａｎ α２ ＝ ± １ － ｃｏｓ α １ ＋ ｃｏｓ α(Ｔ α ２ ) . 想一想:(１)半角公式中的正负号能否去 掉? 该如何选择? (２)半角公式对 α∈Ｒ 都成立吗? 　 　 练一练: １. 下列说法中正确的个数是 ( Ａ ) ①ｓｉｎ α２ ＝ ± １ ＋ ｃｏｓ α ２ . ②ｃｏｓ ２０° ＝ ± １ ＋ ｃｏｓ ４０°２ . ③ｔａｎ α２ ＝ ｓｉｎ α １ － ｃｏｓ α ＝ １ ＋ ｃｏｓ α ｓｉｎ α . ④ｓｉｎ ４α ＋ ３ｃｏｓ ４α ＝ ２ｓｉｎ ４α ＋ π３ æ è ç ö ø ÷ . Ａ. １　 　 　 Ｂ. ２　 　 　 Ｃ. ３　 　 　 Ｄ. ４ ２. 已知 ｃｏｓ α ＝ ３５ ꎬα∈ ３π ２ ꎬ２π æ è ç ö ø ÷ꎬ则 ｓｉｎ α２ ＝ 　 　 　 　 　 ꎬｔａｎ α２ ＝ 　 　 　 　 . 知识点 ２ 常见的三角恒等变换 　 　 (１)辅助角公式:ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂｃｏｓ ｘ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 (ａｂ≠０)ꎬ其中 ｔａｎ φ ＝ ｂａ ꎬφ 所在象限由 ａ 和 ｂ 的符号确定. (２) 降幂公式: ｓｉｎ２ ｘ ＝ １ － ｃｏｓ ２ｘ２ ꎬ ｃｏｓ ２ ｘ ＝ １ ＋ ｃｏｓ ２ｘ ２ ꎬｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ ＝ １ ２ ｓｉｎ ２ｘ. 　 　 练一练: １. (多选题)ｃｏｓ α － ｓｉｎ α 的化简结果是 ( 　 ) Ａ. ２ｓｉｎ π４ － α æ è ç ö ø ÷ Ｂ. ２ｃｏｓ α － π４ æ è ç ö ø ÷ Ｃ. ２ｓｉｎ α ＋ π４ æ è ç ö ø ÷ Ｄ. ２ｃｏｓ α ＋ π４ æ è ç ö ø ÷ ２. １２ － ｃｏｓ ２ π ８ ＝ 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 182 {#{QQABAYAEogggAAIAAAgCQwEQCkEQkACCCCoGwBAEIAIBwRFABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 应用半角公式求值 　 　 典例 １ 已知 ｓｉｎ θ ＝ ４５ ꎬ且 ５π ２ < θ < ３πꎬ 求ｓｉｎ θ２ ꎬｃｏｓ θ ２ ꎬｔａｎ θ ２ . [分析] 　 已知条件中的角 θ 与所求角中的 θ ２ 成二倍关系ꎬ从而选择半角公式求值. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 已知 θ 的某个三角函数值ꎬ 求 θ ２ 的三角函数值的步骤是:(１)利用同角三角 函数基本关系式求得 θ 的其他三角函数值ꎻ (２)代入半角公式计算即可. 对点练习❶ 设 π < θ < ２πꎬｃｏｓ θ２ ＝ － ３５ ꎬ求: (１)ｓｉｎ θ 的值ꎻ(２) ｃｏｓ θ 的值ꎻ(３) ｓｉｎ２ θ４ 的值. 题型二 三角恒等式的化简与证明 　 　 典例 ２ 化简: １ － ｓｉｎ α － ｃｏｓ α( ) ｓｉｎ α２ ＋ ｃｏｓ α ２ æ è ç ö ø ÷ ２ －２ｃｏｓ α ( －π < α <０). 　 　 [尝试作答] 􀪋�