5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

课堂检测􀅰固双基 １. 函数 ｙ ＝ ｔａｎ (ｘ ＋ π３ )的定义域是 ( Ａ ) Ａ. { ｘ∈Ｒ ｘ≠ｋπ ＋ π６ ꎬｋ∈Ｚ } Ｂ. { ｘ∈Ｒ ｘ≠ｋπ － π６ ꎬｋ∈Ｚ } Ｃ. { ｘ∈Ｒ ｘ≠２ｋπ ＋ π６ ꎬｋ∈Ｚ } Ｄ. { ｘ∈Ｒ ｘ≠２ｋπ － π６ ꎬｋ∈Ｚ } ２. 下列各式中正确的是 ( Ｄ ) Ａ. ｔａｎ ７３５° > ｔａｎ ８００° Ｂ. ｔａｎ １ > － ｔａｎ ２ Ｃ. ｔａｎ ５π７ < ｔａｎ ４π ７ Ｄ. ｔａｎ ９π８ < ｔａｎ π ７ ３. 函数 ｙ ＝ ｔａｎ ( π２ － ｘ ) ( ｘ∈ [ － π ４ ꎬ π ４ ]ꎬ且 ｘ≠ ０ )的值域为　 ( － ∞ ꎬ － １]∪[１ꎬ ＋ ∞ )　 . ４. 已知函数 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ － π３ æ è ç ö ø ÷ꎬ则该函数图象的对 称中心坐标为　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[４９] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５. ５　 三角恒等变换 ５. ５. １　 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第 １ 课时　 两角差的余弦公式 学习目标 １. 了解两角差的余弦公式的推导过程. ２. 熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征ꎬ并能利用该公式进行求值、计算. 核心素养 １. 通过两角差的余弦公式的推导ꎬ培养数学运算素养. ２. 借助公式的变形、正用、逆用ꎬ提升逻辑推理素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 两角差的余弦公式 　 　 公式:ｃｏｓ(α － β) ＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β ＋ ｓｉｎ αｓｉｎ β. (１)简记符号:Ｃ(α － β) (２)适用条件:公式中的角 αꎬβ 都是　 　 　 　 任意角　 . 提醒: (１) 公式可简记为:余余正正、符 号反. (２)公式中的 αꎬβ 都是任意角ꎬ既可以是一 个角ꎬ也可以是几个角的组合ꎬ公式右端展开式 为角 αꎬβ 的同名三角函数积的和ꎬ即差角余弦 等于同名积之和. 　 　 练一练: 　 　 １. 下列说法正确的个数是 ( Ｂ ) ①对于任意角 αꎬβꎬ都有 ｃｏｓ(α － β) ＝ ｃｏｓ α － ｃｏｓ β. ②对于任意角 αꎬβꎬ都有 ｃｏｓ(α － β)≠ｃｏｓ α － ｃｏｓ β. ③存在角 αꎬβꎬ使得 ｃｏｓ(α － β) ＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 170 {#{QQABCYAAggAAABJAAQhCQwVgCkEQkAACAKoGgAAIMAIBARFABAA=}#} － ｓｉｎ αｓｉｎ β. ④当 αꎬβ 为锐角时ꎬ必有 ｃｏｓ ( α － β) > ｃｏｓ αｃｏｓ β. Ａ. １　 　 　 Ｂ. ２　 　 　 Ｃ. ３　 　 　 Ｄ. ４ 　 　 ２. ｃｏｓ(３０° － ４５°)等于 ( Ｄ ) Ａ. ２２ Ｂ. ３ ２ Ｃ. ２ ＋ ３４ Ｄ. ２ ＋ ６ ４ 　 　 ３. ｃｏｓ ４５°ｃｏｓ １５° ＋ ｓｉｎ ４５°ｓｉｎ １５° ＝ ( Ｂ ) Ａ. １２ Ｂ. ３ ２ Ｃ. ２ ２ Ｄ. ３ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 给角求值 　 　 典例 １ (１)求值:ｃｏｓ １５° ＝ 　 　 　 　 　 　 ꎻ (２)求值:ｓｉｎ ７°ｃｏｓ ２３° ＋ ｓｉｎ ８３°ｃｏｓ ６７° ＝ 　 　 　 　 ꎻ (３)计算:ｃｏｓ(α －３５°)ｃｏｓ(２５° ＋ α) ＋ ｓｉｎ(α － ３５°)ｓｉｎ(２５° ＋ α) ＝ 　 　 　 　 . [分析] 　 尝试逆用公式求解ꎬ非特殊角转 化为特殊角的差ꎬ然后正用 Ｃ(α － β)进行求值. [归纳提升] 　 运用两角差的余弦公式求值 的关注点 (１)运用两角差的余弦公式解决问题要深 刻理解公式的特征ꎬ切忌死记. (２)在逆用公式解题时ꎬ还要善于将特殊的 值变形为某特殊角的三角函数值. 对点练习❶ 求下列各式的值. (１)ｃｏｓ ４０°ｃｏｓ ２０° － ｓｉｎ ４０°ｓｉｎ ２０°ꎻ (２)ｃｏｓ ７３ πｃｏｓ １１ ６ π ＋ ｓｉｎ ２ ３ πｓｉｎ ５ ６ π. 题型二 给值求值 　 　 典例 ２ (１)已知 ｓｉｎ α ＝ － ４５ ꎬｓｉｎ β ＝ ５ １３ꎬ且 １８０° < α < ２７０°ꎬ９０° < β < １８０°ꎬ则 ｃｏｓ(α － β) ＝ 　 　 　 　 ꎻ (２)已知