5.4.3 正切函数的性质与图象(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

５. ４. ３　 正切函数的性质与图象 学习目标 １. 能够借助单位圆中的正切线画出函数 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 的图象. ２. 掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性. ３. 能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 核心素养 １. 借助正切函数的图象研究问题ꎬ培养直观想象素养. ２. 通过正切函数的性质的应用ꎬ提升逻辑推理素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 正切函数的图象与性质 　 　 (１)图象:如图所示. 　 　 正切函数 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 的图象叫做正切曲线. (２)性质:如下表所示. 　 　 　 　 函数 性质　 　 　 　 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 定义域 ｘ ｘ≠　 　 　 　 ꎬｋ∈Ｚ{ } 值域 Ｒ 周期 π　 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 上单调递增 对称中心 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 [提醒](１)直线 ｘ ＝ π２ ＋ ｋπ(ｋ∈Ｚ)称为正 切曲线的渐近线ꎬ正切曲线无限接近渐近线. (２)函数 ｙ ＝ Ａｔａｎ(ωｘ ＋ φ) ＋ ｂ 的周期是 Ｔ ＝ π｜ω ｜ . 想一想:“正切函数在其定义域内是增函 数”这种说法是否正确? 　 　 练一练: １. 下列说法正确的个数是 ( Ａ ) ①正切函数的定义域和值域都是 Ｒꎻ ②正切函数在其定义域内是单调递增 函数ꎻ ③函数 ｙ ＝ ｜ ｔａｎ ｘ ｜与 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 的周期相等ꎬ 都是 πꎻ ④函数 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 的所有对称中心是(ｋπꎬ０) (ｋ∈Ｚ) . Ａ. １　 　 　 　 　 　 　 Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ. ４ ２. 函数 ｙ ＝ ２ｔａｎ １２ ｘ － π ４ æ è ç ö ø ÷的最小正周期是 ( Ｂ ) Ａ. π Ｂ. ２π Ｃ. ３π Ｄ. ４π ３. 比较大小:ｔａｎ １３５° 　 < 　 ｔａｎ １３８°. (填 “ > ”或“ < ”) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 167 {#{QQABAYCAoggoABBAAQgCQwEgCkIQkAACAKoGhAAEIAIBARFABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 正切函数的定义域、值域问题 　 　 典例 １ (１)若 ｙ ＝ ｔａｎ ２ｘ － π４ æ è ç ö ø ÷ꎬ则该函 数定义域为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎻ (２)函数 ｙ ＝ ｔａｎ ( ｘ２ ＋ π ４ )ꎬｘ∈ (０ꎬ π ６ ]的值 域是　 　 　 　 　 　 . [分析] 　 (１)由 ２ｘ － π４ ≠ π ２ ＋ ｋπ(ｋ∈Ｚ)ꎬ 即可求出结果. (２)根据 ｘ∈ (０ꎬπ６ ]ꎬ求解 ｘ ２ ＋ π ４ 的范围ꎬ结合正切函数的性质可得值域. [归纳提升] 　 求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时ꎬ除 了求函数定义域的一般要求外ꎬ还要保证正切 函数 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 有意义ꎬ即 ｘ≠π２ ＋ ｋπꎬｋ∈Ｚ. 对点练习❶ (１)函数 ｆ( ｘ) ＝ ｔａｎ ２ｘ 在 [ － π６ ꎬ π ６ ]上的最大值与最小值的差为 ( Ａ ) Ａ. ２ ３　 　 　 　 　 Ｂ. ２ ３３ Ｃ. ２ Ｄ. ２３ (２)函数 ｙ ＝ ｔａｎ２ｘ － ２ｔａｎ ｘ ( ｜ ｘ ｜ ≤π３ ) 的值 域为　 　 　 　 　 　 　 . 题型二 正切函数的单调性及应用 　 　 典例 ２ (１)求函数 ｙ ＝ ｔａｎ ( １２ ｘ － π ４ )的 单调区间. (２)比较 ｔａｎ ( －１３π４ )与 ｔａｎ ( － １２π ５ )的大小. [分析] 　 (１)利用正切函数的单调性ꎬ求 得该函数的单调递增区间. (２)利用诱导公式化 到同一单调区间内ꎬ再运用函数的单调性比较 大小. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋�