5.2.2 同角三角函数的基本关系(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

课堂检测􀅰固双基 １. ｓｉｎ － １０３ π æ è ç ö ø ÷的值等于 ( Ｃ ) Ａ. １２ 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ. － １ ２ Ｃ. ３２ Ｄ. － ３ ２ ２. 已知角 α 为第三象限角ꎬ则点 Ｐ(ｔａｎ αꎬｓｉｎ α) 在 ( Ｄ ) Ａ. 第一象限 Ｂ. 第二象限 Ｃ. 第三象限 Ｄ. 第四象限 ３. 若角 α 的终边过点( － ５ꎬ － ３)ꎬ则 ( Ｃ ) Ａ. ｓｉｎ αｔａｎ α > ０ Ｂ. ｃｏｓ αｔａｎ α > ０ Ｃ. ｓｉｎ αｃｏｓ α > ０ Ｄ. ｓｉｎ αｃｏｓ α < ０ ４. 计算:ｃｏｓ － ５π３ æ è ç ö ø ÷ ＋ ｓｉｎ １３π６ 􀅰 ｔａｎ ８π. 请同学们认真完成练案[４２] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５. ２. ２　 同角三角函数的基本关系 学习目标 １. 理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. ２. 会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 核心素养 １. 通过同角三角函数的基本关系进行运算ꎬ培养数学运算素养. ２. 借助数学式子的证明ꎬ培养逻辑推理素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 同角三角函数的基本关系 　 　 １. 平方关系:　 ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １　 . ２. 商数关系:　 　 　 　 　 　 　 . 提醒:对同角三角函数基本关系式的理解 (１)注意“同角”ꎬ这里“同角”有两层含义ꎬ 一是“角相同”ꎬ二是对“任意”一个角(在使函 数有意义的前提下)关系式都成立ꎬ即与角的表 达形式无关ꎬ如 ｓｉｎ２３α ＋ ｃｏｓ２３α ＝ １ 成立ꎬ但是 ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２β ＝ １ 就不一定成立. (２)ｓｉｎ２α 是(ｓｉｎ α) ２ 的简写ꎬ读作“ｓｉｎ α 的 平方”ꎬ不能将 ｓｉｎ２α 写成 ｓｉｎ α２ꎬ前者是 α 的正 弦的平方ꎬ后者是 α２ 的正弦ꎬ两者是不同的ꎬ要 弄清它们的区别ꎬ并能正确书写. (３)同角三角函数的基本关系式是针对使 三角函数有意义的角而言的ꎬｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １ 对一切 α∈Ｒ 恒成立ꎬ而 ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α仅对 α≠ π ２ ＋ ｋπ(ｋ∈Ｚ)成立. 　 　 练一练: １. 下列四个结论中可能成立的是 ( Ｂ ) Ａ. ｓｉｎ α ＝ １２ 且 ｃｏｓ α ＝ １ ２ Ｂ. ｓｉｎ α ＝ ０ 且 ｃｏｓ α ＝ － １ Ｃ. ｔａｎ α ＝ １ 且 ｃｏｓ α ＝ － １ Ｄ. α 是第二象限角时ꎬｔａｎ α ＝ － ｓｉｎ αｃｏｓ α 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 147 {#{QQABAYCEggCAAgBAAQgCQwUwCEEQkBECCCoGxBAAIAIBAAFABAA=}#} ２. 化简 １ － ｓｉｎ２ ３π５ 的结果是 ( Ｃ ) Ａ. ｃｏｓ ３π５ 　 　 　 　 　 Ｂ. ｓｉｎ ３π ５ Ｃ. － ｃｏｓ ３π５ Ｄ. － ｓｉｎ ３π ５ 　 　 ３. 已知 ｃｏｓ α ＝ － ４５ ꎬ且 α 为第三象限角ꎬ则 ｓｉｎ α ＝ 　 　 　 　 ꎬｔａｎ α ＝ 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 利用同角基本关系式求值 　 　 角度 １　 已知角的某个三角函数值ꎬ求其余 三角函数值 　 　 典例 １ 已知 ｓｉｎ α ＝ １５ ꎬ求 ｃｏｓ αꎬｔａｎ α 的值. [分析] 　 已知角的正弦值或余弦值ꎬ求其 他三角函数值ꎬ应先判断三角函数值的符号ꎬ然 后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值ꎬ 再利用商数关系求解该角的正切值即可. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋