5.1.1 任意角(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为 ４６６ 个单位. (３)设雄鸟的耗氧量为 ｘ１ꎬ雌鸟的耗氧量为 ｘ２ꎬ 由题意得: ２. ５ ＝ １２ ｌｏｇ３ ｘ１ １００ － ｌｇ ｘ０ꎬ １. ５ ＝ １２ ｌｏｇ３ ｘ２ １００ － ｌｇ ｘ０ꎬ ì î í ïï ï 两式相减可得 １ ＝ １２ ｌｏｇ３ ｘ１ ｘ２ ꎬ解得: ｘ１ ｘ２ ＝ ９ꎬ 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的 ９ 倍. 　 　 对点练习 ３:(１)由题意可得 ０ ＝ ｋ􀅰ｌｏｇ３ １００ １００ ＋ ｂꎬ １. ５ ＝ ｋ􀅰ｌｏｇ３ ２ ７００ １００ ＋ ｂꎬ { 解得 ｋ ＝ １２ ꎬｂ ＝ ０ꎬ 所以游速 ｖ 与其耗氧量单位数 Ｑ 之间的函数解析式 ｖ ＝ １ ２ ｌｏｇ３ Ｑ １００. (２)由题意ꎬ有 １２ ｌｏｇ３ Ｑ １００≤２. ５ꎬ即 ｌｏｇ３ Ｑ １００≤５ꎬ 所以 ｌｏｇ３ Ｑ １００≤ｌｏｇ３３ ５ꎬ 由对数函数的单调性有 ０ < Ｑ１００≤３ ５ꎬ 解得 ０ < Ｑ≤２４ ３００ꎬ 故当一条鲑鱼的游速不高于 ２. ５ ｍ / ｓ 时ꎬ其耗氧量至多需 要 ２４ ３００ 个单位. 课堂检测􀅰固双基 １. Ａ　 随着自变量每增加 １ꎬ函数值增加 ３ꎬ函数值的增量是均匀 的ꎬ故为线性函数即一次函数模型. ２. Ａ　 设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的 ｑ％ . 由题意 可知(ｑ％ ) ５０ ＝ ０. ９５ꎬ所以 ｑ％ ＝ ０. ９５ １ ５０ꎬ所以从 ２０２１ 年起ꎬｘ 年 后北冰洋冬季冰雪覆盖面积 ｙ 与 ｘ 的函数关系式为 ｙ ＝ ０. ９５ ｘ ５０􀅰ｍ. ３. Ｃ　 设 ６ 年间平均年增长率为 ｘꎬ则有 １ ２００ (１ ＋ ｘ) ６ ＝ ４ ８００ꎬ 解得 ｘ ＝ ３２ － １. 故选 Ｃ. ４. ２ ５００　 ∵ 每生产一单位产品ꎬ成本增加 １０ 万元ꎬ ∴ 单位产品数 Ｑ 时的总成本为 ２ ０００ ＋ １０Ｑ 万元ꎬ ∵ Ｋ(Ｑ) ＝ ４０Ｑ － １２０Ｑ ２ꎬ ∴ 利润 Ｌ(Ｑ) ＝ ４０Ｑ － １２０Ｑ ２ － １０Ｑ － ２ ０００ ＝ － １２０(Ｑ － ３００) ２ ＋ ２ ５００ꎬ ∴ Ｑ ＝ ３００ 时ꎬ利润 Ｌ(Ｑ)的最大值是 ２ ５００ 万元. 章末梳理 要点梳理􀅰晰精华 　 　 (１) ａꎬｎ 为奇数ꎬ｜ ａ ｜ ꎬｎ 为偶数{ 　 (２) ( ａｂ) ｒ ＝ ａｒ ｂｒ 　 (５) (０ꎬ ＋ ∞ ) 　 (０ꎬ１)　 增　 减　 (６)(０ꎬ ＋ ∞ ) 　 (１ꎬ０) 　 (０ꎬ ＋ ∞ ) 　 (７) ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)　 ｙ ＝ ｘ 素养突破􀅰提技能 　 　 典例 １:(１)原式 ＝ (１０ － ３) － １ ３ ＋ (２２) １. ５ － ｜ π － ４ ｜ ＝ １０ ＋ ８ － (４ － π) ＝ １４ ＋ π. (２)原式 ＝ ２ ｌｏｇ２３ × ２ ｌｏｇ３２ ＋ ２(１ ＋ ｌｏｇ５２) ＋ ｌｏｇ５ １ ４ ＝ ４ ＋ ２ ＋ ２ ｌｏｇ５２ － ２ ｌｏｇ５２ ＝ ６. 　 　 典例 ２:Ｃ　 方法一:当 ｘ ＝ ０ 时ꎬｙ ＝ ０ꎬ故可排除选项 Ａꎬ由 １ － ｘ > ０ꎬ得 ｘ < １ꎬ即函数的定义域为( － ∞ ꎬ１)ꎬ排除选项 Ｂꎬ又易 知函数在其定义域上是减函数. 方法二:函数 ｙ ＝ ２ｌｏｇ４ (１ － ｘ)的图象可认为是由 ｙ ＝ ｌｏｇ４ｘ 的图象经过如下步骤变换得到的:(１)函数 ｙ ＝ ｌｏｇ４ｘ 的图象上所 有点的横坐标不变. 纵坐标变为原来的 ２ 倍ꎬ得到函数 ｙ ＝ ２ｌｏｇ４ｘ 的图象ꎻ(２) 把函数 ｙ ＝ ２ｌｏｇ４ｘ 关于 ｙ 轴对称得到函数 ｙ ＝ ２ｌｏｇ４( － ｘ)的图象ꎻ(３)把函数 ｙ ＝ ２ｌｏｇ４( － ｘ)的图象向右平移 １ 个单位ꎬ即可得到 ｙ ＝ ２ｌｏｇ４(１ － ｘ)的图象. 　 　 典例 ３:(１)要使函数有意义ꎬ则有 １ － ｘ > ０ꎬｘ ＋ ３ > ０ꎬ{ 解得 － ３ < ｘ < １ꎬ 所以定义域为( － ３ꎬ１) . (２)函数可化为 ｆ(ｘ) ＝ ｌｏｇａ[(１ － ｘ)(ｘ ＋３)] ＝ ｌｏｇａ( － ｘ２ －２ｘ ＋ ３) ＝ ｌｏｇａ[ － (ｘ ＋１)２ ＋４]. 因为 － ３ < ｘ < １ꎬ 所以 ０ < － (ｘ ＋ １) ２ ＋ ４≤４. 因为 ０ < ａ < １ꎬ 所以 ｌｏｇａ[ － (ｘ ＋ １) ２ ＋ ４]≥ｌｏｇａ４. 由 ｌｏｇａ４ ＝ － ２ꎬ得 ａ － ２ ＝ ４ꎬ 所以 ａ ＝ ４ － １ ２ ＝ １２ . 　 　 典例 ４:(１)当 ０ < ｘ≤６０ 时ꎬｆ(ｘ) ＝ ４ｘ － １００≤ｆ(６０) ＝ １４０ꎬ 当 ｘ