4.5.3 函数模型的应用(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

４. ５. ３　 函数模型的应用 学习目标 １. 会利用已知函数模型解决实际问题. ２. 能建立函数模型解决实际问题. ３. 了解拟合函数模型并解决实际问题. 核心素养 　 通过本节内容的学习ꎬ认识函数模型的作用ꎬ提高数学建模、数据分析的素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 指数函数与对数函数模型 指数函数模型 ｙ ＝ ｂａｘ ＋ ｃ(ａꎬｂꎬｃ 为常数ꎬｂ≠０ꎬａ > ０ 且 ａ≠１) 对数函数模型 ｙ ＝ ｍｌｏｇａｘ ＋ ｎ(ｍꎬａꎬｎ 为常数ꎬｍ≠０ꎬ ａ > ０且 ａ≠１) 　 　 练一练: １. 某厂 ２０１１ 年的产值为 ａ 万元ꎬ预计产值 每年以 ｎ％ 的速度递增ꎬ则该厂到 ２０２３ 年的产 值(单位:万元)是 ( Ｂ ) Ａ. ａ(１ ＋ ｎ％ ) １３ 　 　 　 　 Ｂ. ａ(１ ＋ ｎ％ ) １２ Ｃ. ａ(１ ＋ ｎ％ ) １１ Ｄ. ａ(１ － ｎ％ ) １２ ２. 某种细菌经 ３０ 分钟个数变为原来的 ２ 倍ꎬ且该种细菌的繁殖规律为 ｙ ＝ ｅｋｔꎬ其中 ｋ 为 常数ꎬｔ 表示时间(单位:时)ꎬｙ 表示繁殖后细菌 总个数ꎬ则 ｋ ＝ 　 　 ２ｌｎ ２　 ꎬ经过 ５ 小时ꎬ１ 个细 菌通过繁殖个数变为　 １ ０２４　 . ３. 某种动物繁殖数量 ｙ(只)与时间 ｘ(年) 的关系为 ｙ ＝ ａｌｏｇ２(ｘ ＋ １)ꎬ设这种动物第 １ 年有 １００ 只ꎬ则第 ７ 年它们繁殖到　 ３００　 只. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 一次函数、二次函数、分段函数模型 　 　 典例 １ 某市“网约车”的现行计价标准 是:路程在２ ｋｍ以内(含 ２ ｋｍ)按起步价 ８ 元收 取ꎬ超过 ２ ｋｍ 后的路程按 １. ９ 元 / ｋｍ 收取ꎬ但超 过 １０ ｋｍ 后的路程需加收 ５０％ 的返空费(即单 价为 １. ９ × (１ ＋ ５０％ ) ＝ ２. ８５ 元 / ｋｍ) . 　 　 (１)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用 ｆ(ｘ)(单位:元)表示为行程 ｘ(０ < ｘ≤６０ꎬ单位: ｋｍ)的分段函数ꎻ 　 　 (２)某乘客的行程为 １６ ｋｍꎬ他准备先乘一 辆“网约车”行驶 ８ ｋｍ 后ꎬ再换乘另一辆“网约 车”完成余下行程ꎬ请问:他这样做是否比只乘 一辆“网约车”完成全部行程更省钱? 请说明 理由. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 利用二次函数求最值的方法 及注意点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 128 {#{QQABCYCEggCAABIAAAgCQwFgCEEQkACCAKoGRBAAMAIBQRFABAA=}#} (１)方法:根据实际问题建立函数模型解析 式后ꎬ可利用配方法、判别式法、换元法及利用 函数的单调性等方法求最值ꎬ从而解决实际问 题中的利润最大、用料最省等最值问题. (２)注意:取得最值时的自变量与实际意义 是否相符. 对点练习❶ 某车间生产一种仪器的固 定成本为 １０ ０００ 元ꎬ每生产一台该仪器需要增 加投入 １００ 元ꎬ已知总收入满足函数: Ｈ(ｘ) ＝ ４００ｘ － ｘ２ꎬ０≤ｘ≤２００ꎬｘ∈Ｎꎬ ４０ ０００ꎬｘ > ２００ꎬｘ∈Ｎꎬ{ 其中 ｘ 是仪器的月产量. 　 　 (１)将利润表示为月产量的函数(用 ｆ( ｘ) 表示)ꎻ 　 　 (２)当月产量为何值时ꎬ车间所获利润最 大? 最大利润为多少元? (总收入 ＝ 总成本 ＋ 利润) 题型二 指数函数模型的应用 　 　 典例 ２ 一种专门占据内存的计算机病