4.5.2 用二分法求方程的近似解(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

４. ５. ２　 用二分法求方程的近似解 学习目标 １. 通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件. ２. 了解二分法是求方程近似解的常用方法ꎬ能借助计算器用二分法求方程的近似解. ３. 会用二分法求一个函数在给定区间内的零点ꎬ从而求得方程的近似解. 核心素养 　 借助二分法的操作步骤与思想ꎬ培养数学运算及逻辑推理素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 二分法的概念 　 　 对于在区间[ａꎬｂ]上　 连续不断　 　 　 且 　 ｆ(ａ)􀅰ｆ(ｂ) < ０　 的函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)ꎬ通过不断 地把函数ｆ(ｘ)的零点所在的区间一分为二ꎬ使 区间的两个端点逐步逼近零点ꎬ进而得到函数 零点近似值的方法叫做二分法. 想一想:是否所有的函数都可以用二分法 求函数的零点? 　 　 练一练: 　 　 １. 以下每个图象表示的函数都有零点ꎬ但 不能用二分法求函数零点近似值的是 ( Ｃ ) ２. 下列函数中不能用二分法求零点近似值 的是 ( Ｃ ) Ａ. ｆ(ｘ) ＝ ３ｘ － １　 　 Ｂ. ｆ(ｘ) ＝ ｘ３ Ｃ. ｆ(ｘ) ＝ ｜ ｘ ｜ Ｄ. ｆ(ｘ) ＝ ｌｎ ｘ 知识点 ２ 用二分法求函数 ｆ( ｘ)的零点近 似值的步骤 　 　 (１)确定零点 ｘ０ 的初始区间[ａꎬｂ]ꎬ验证 　 ｆ(ａ)􀅰ｆ(ｂ) < ０　 ꎻ (２)求区间(ａꎬｂ)的中点 ｃꎻ (３)计算 ｆ(ｃ): 若 ｆ(ｃ) ＝ 　 　 ０　 ꎬ则 ｃ 就是函数的零点ꎻ 若 ｆ(ａ)􀅰ｆ(ｃ) 　 　 < 　 ０ꎬ则令 ｂ ＝ ｃ[此时 零点ｘ０∈(ａꎬｃ)]ꎻ 若 ｆ(ｃ)􀅰ｆ(ｂ) 　 　 < 　 ０ꎬ则令 ａ ＝ ｃ[此时 零点ｘ０∈(ｃꎬｂ)] . (４)判断是否达到精确度 ε: 即若 ｜ ａ － ｂ ｜ 　 　 < 　 εꎬ则得到零点的近似 值为 ａ(或 ｂ)ꎻ否则重复(２) ~ (４) . 想一想:零点的近似解只能是区间的端点 ａ 或 ｂ 吗? 　 　 练一练: １. 用二分法求函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ３ ＋ ５ 的零点可 以取的初始区间是 ( Ａ ) Ａ. [ － ２ꎬ１] Ｂ. [ － １ꎬ０] Ｃ. [０ꎬ１] Ｄ. [１ꎬ２] ２. 函数 ｆ(ｘ)的图象如图所示ꎬ则函数 ｆ(ｘ) 的变号零点的个数为 ( Ｄ ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ. ０　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ｂ. １ Ｃ. ２ Ｄ. ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 125 {#{QQABAYAEogioABAAAAhCQwUgCEIQkACCAKoGQBAMIAIBQRFABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 对二分法概念的理解 　 　 典例 １ (１)下面关于二分法的叙述ꎬ正 确的是 ( Ｂ ) Ａ. 用二分法可求所有函数零点的近似值 Ｂ. 用二分法求方程的近似解时ꎬ可以精确 到小数点后的任一位 Ｃ. 二分法无规律可循 Ｄ. 只有在求函数的零点时才用二分法 (２)观察下列函数的图象ꎬ判断能用二分法 求其零点的是 ( Ａ ) [分析] 　 ( １ ) 怎样用二分法求函数的 零点? (２) 函数具有零点与该函数的图象有何 关系? [归纳提升] 　 运用二分法求函数的零点需 具备的两个条件:(１)函数图象在零点附近连续 不断ꎻ(２)在该零点左右函数值异号. 对点练习❶ (１)对于二分法求得的近 似解ꎬ精确度 ε 说法正确的是 ( Ｂ ) Ａ. ε 越大ꎬ零点的精确度越高 Ｂ. ε 越大ꎬ零点的精确度越低 Ｃ. 重复计算次数就是 ε Ｄ. 重复计算次数与 ε 无关 (２)已知 ｆ(ｘ) ＝ ｘ２ ＋ ６ｘ ＋ ｃ 有零点ꎬ但不能 用二分法求出ꎬ则 ｃ 的值是 ( Ａ ) Ａ. ９　 　 　 Ｂ. ８　 　 　 Ｃ. ７　 　 　 Ｄ. ６ 题型二 用二分法求函数的零点近似值(方 程近似解)问题 　 　 典例 ２ (１)(多选题)用二分法求函数 ｆ(ｘ) ＝ ５ｘ ＋ ７ｘ － ２ 的一个零点ꎬ其参考数据 如下: ｘ ０. ０６２ ５ ０. ０９３ ７５ ０. １２５ ０. １５６ ２５ ０. １８７ ５ ｆ(ｘ) － ０. ４５６ ７ － ０. １８０ ９ ０. ０９７ ８ ０. ３７９ ７ ０. ６６４ ７ 　 　 根据上述数据ꎬ可得 ｆ(ｘ) ＝ ５ｘ ＋