4.5.1 函数的零点与方程的解(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

４. ５　 函数的应用(二) ４. ５. １　 函数的零点与方程的解 学习目标 １. 理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系. ２. 会求函数的零点. ３. 掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数. 核心素养 １. 借助零点的求法ꎬ培养数学运算和逻辑推理的素养. ２. 借助函数的零点同方程根的关系ꎬ培养直观想象的数学素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 函数的零点 　 　 (１) 函数 ｆ ( ｘ) 的零点是使 ｆ ( ｘ) ＝ ０ 的 　 实数 ｘ　 . (２)函数的零点、函数的图象、方程的根的 关系. (３)函数的零点 对于函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ꎬ把使 ｆ(ｘ) ＝ ０ 的　 实数 ｘ　 　 　 　 叫做函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的零点. 想一想:函数的零点是函数与 ｘ 轴的交 点吗? 　 　 练一练: １. 函数 ｆ(ｘ) ＝ ４ｘ － ６ 的零点是 ( Ｃ ) Ａ. ２３ 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ. ３ ２ ꎬ０ æ è ç ö ø ÷ Ｃ. ３２ 　 　 　 　 Ｄ. － ３ ２ ２. 若函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ａ 没有零点ꎬ则实 数 ａ 的取值范围是 ( Ｂ ) Ａ. ａ < １ Ｂ. ａ > １ Ｃ. ａ≤１ Ｄ. ａ≥１ 知识点 ２ 函数的零点存在定理 　 　 (１)条件:函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间[ａꎬｂ]上的 图象是 　 连续不断的曲线　 ꎬ且有 ｆ ( ａ) ｆ ( ｂ) < ０ꎻ (２)函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间(ａꎬｂ)内至少有一 个零点ꎬ即存在 ｃ∈(ａꎬｂ)使 ｆ( ｃ) ＝ ０ꎬ这个 ｃ 也 就是 ｆ(ｘ) ＝ ０ 的根. 提醒:关于零点存在定理 (１)在区间端点处的函数值异号ꎻ (２)存在零点ꎬ具体的零点个数不能确定. 想一想:函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间(ａꎬｂ)上有零 点ꎬ是不是一定有ｆ(ａ) ｆ(ｂ) < ０? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 122 {#{QQABCYAAggCIAABAAQgCQwFQCEIQkAACCCoGAAAAMAIBgRFABAA=}#} 　 　 练一练: １. 函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ － ２ ＋ ｌｏｇ２ｘꎬ则 ｆ(ｘ)的零点 所在区间为 ( Ｂ ) Ａ. (０ꎬ１) Ｂ. (１ꎬ２) Ｃ. (２ꎬ３) Ｄ. (３ꎬ４) ２. 二次函数 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ 中ꎬａ􀅰ｃ < ０ꎬ则 函数有　 　 ２　 个零点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 求函数的零点 　 　 典例 １ ( １ ) 求函数 ｆ( ｘ) ＝ ｘ２ ＋ ２ｘ － ３ꎬｘ≤０ꎬ －２ ＋ ｌｎ ｘꎬｘ > ０{ 的零点ꎻ (２)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ － ｂ(ａ≠０)的零点 为 ３ꎬ求函数 ｇ(ｘ) ＝ ｂｘ２ ＋ ａｘ 的零点. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 函数零点的求法 (１)代数法:求方程 ｆ(ｘ) ＝ ０ 的实数根. (２)几何法:与函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的图象联系起 来ꎬ图象与 ｘ 轴的交点的横坐标即为函数的 零点. 对点练