4.4.3 不同函数增长的差异(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

４. ４. ３　 不同函数增长的差异 学习目标 １. 了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型. ２. 会分析具体的实际问题ꎬ通过建模解决实际问题. 核心素养 １. 从几类特殊函数中分析出一般性函数的增长特点ꎬ可以提高数据分析、逻辑推理素养. ２. 通过比较几种不同类型的函数模型的增长进行决策ꎬ建立函数模型ꎬ从而提升数学建模 素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 三种函数的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 一元一次函数 解析式 ｙ ＝ ａｘ(ａ > １) ｙ ＝ ｌｏｇａｘ (ａ > １) ｙ ＝ ｋｘ(ｋ > ０) 单调性 在(０ꎬ ＋ ∞ )上单调递增　 图象(随 ｘ 的增大) 逐渐与 ｙ 轴平行 逐渐与 ｘ 轴平行 直线逐渐上升 增长速度(随 ｘ 的增大) ｙ 的增长速度 越来越　 快　 ｙ 的增长速度 越来越　 慢　 ｙ 值逐渐增加 增长关系 存在一个 ｘ０ꎬ当 ｘ > ｘ０ 时ꎬａｘ > ｋｘ > ｌｏｇａｘ 　 　 想一想:存在一个 ｘ０ꎬ当 ｘ > ｘ０ 时ꎬ为什么 ａｘ > ｘｎ > ｌｏｇａｘ(ａ > １ꎬｎ > ０)一定成立? 　 　 练一练: １. 下列说法正确的个数是 ( Ｃ ) (１)函数 ｙ ＝ ｌｏｇ １ ３ ｘ 的衰减速度越来越慢. (２)增长速度不变的函数模型是一次函数 模型. (３)若 ａ > １ꎬｎ > ０ꎬ对于任意 ｘ０∈Ｒꎬ一定有 ａｘ０ > ｘｎ０ . Ａ. ０　 　 Ｂ. １　 　 Ｃ. ２　 　 Ｄ. ３ ２. 甲、乙两人在一次赛跑中ꎬ路程 ｙ 与时间 ｘ 的函数关系如图所示ꎬ则下列说法正确的是 ( Ｄ ) Ａ. 甲比乙先出发 Ｂ. 乙比甲跑的路程多 Ｃ. 甲、乙两人的速度相同 Ｄ. 甲先到达终点 ３. 下列函数中ꎬ随 ｘ 的增大而增大且速度 最快的是　 　 ①　 . ①ｙ ＝ ｅｘ 　 ②ｙ ＝ ｌｎ ｘ　 ③ｙ ＝ ７ｘ　 ④ｙ ＝ ｅ － ｘ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 函数模型的增长差异 　 　 典例 １ 甲、乙、丙、丁四人同时从某一 点出发向同一个方向运动ꎬ其路程 ｆｉ(ｘ)( ｉ ＝ １ꎬ ２ꎬ３ꎬ４)关于时间 ｘ(ｘ≥０)的函数关系式分别为 ｆ１(ｘ) ＝ ２ｘ － １ꎬ ｆ２ ( ｘ) ＝ ｘ２ꎬ ｆ３ ( ｘ) ＝ ｘꎬ ｆ４ ( ｘ) ＝ ｌｏｇ２(ｘ ＋ １)ꎬ有以下结论: ①当 ｘ > １ 时ꎬ甲走在最前面ꎻ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 119 {#{QQABAYAEogggABBAAQgCQwEgCEIQkBCCCKoGBAAEIAIBwQFABAA=}#} ②当 ｘ > １ 时ꎬ乙走在最前面ꎻ ③当 ０ < ｘ < １ 时ꎬ丁走在最前面ꎬ当 ｘ > １ 时ꎬ丁走在最后面ꎻ ④丙不可能走在最前面ꎬ也不可能走在最 后面ꎻ ⑤如果他们一直运动下去ꎬ那么最终走在 最前面的是甲. 其中正确结论的序号为　 ③④⑤　 . [归纳提升] 　 三种函数模型的增长规律: (１)对于幂函数 ｙ ＝ ｘｎꎬ当 ｘ > ０ꎬｎ > ０ 时ꎬｙ ＝ ｘｎ 才是增函数ꎬ当 ｎ 越大时ꎬ增长速度越快. (２)指数函数与对数函数的递增前提是 ａ > １ꎬ又它们的图象关于 ｙ ＝ ｘ 对称ꎬ从而可知ꎬ 当 ａ 越大ꎬｙ ＝ ａｘ 增长越快ꎻ当 ａ 越小ꎬｙ ＝ ｌｏｇａｘ 增长越快ꎬ一般来说ꎬａｘ > ｌｏｇａｘ(ｘ > ０ꎬａ > １) . (３)指数函数与幂函数ꎬ当 ｘ > ０ꎬｎ > ０ꎬａ > １ 时ꎬ可能开始时有 ｘｎ > ａｘꎬ但因指数函数是爆 炸型函数ꎬ当 ｘ 大于某一个确定值 ｘ０ 后ꎬ就一定 有 ａｘ > ｘｎ . 对点练习❶ 三个变量 ｙ１ꎬｙ２ꎬｙ３随着变 量 ｘ 的变化情况如表: ｘ １ ３ ５ ７ ９ １１ ｙ１ ５ １３５ ６２５ １ ７１５ ３ ６３５ ６ ６５５ ｙ２ ５ ２９ ２４５ ２ １８９ １９ ６８５ １７７ １４９ ｙ３ ５ ６. １０ ６. ６１ ６. ９５ ７. ２０ ７. ４０ 　 　 则与 ｘ 呈对数型函数、指数型函数、幂函数 型函数变化的变量依次是 ( Ｃ ) Ａ. ｙ１ꎬｙ２ꎬｙ３ 　 　 　 　 Ｂ. ｙ２ꎬｙ１ꎬｙ３ Ｃ. ｙ３ꎬｙ２ꎬｙ１ Ｄ. ｙ３ꎬｙ１ꎬｙ２ 题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型比较 　 　 典例 ２ 函数 ｆ( ｘ) ＝ ２ｘ和 ｇ( ｘ) ＝ ２ｘ 的 图象如图所示ꎬ