4.3.2 对数的运算(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

４. ３. ２　 对数的运算 学习目标 １. 理解对数的运算性质. ２. 能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. ３. 会运用运算性质进行一些简单的化简与证明. 核心素养 １. 借助对数的运算性质化简、求值ꎬ培养数学运算素养. ２. 通过学习换底公式ꎬ培养逻辑推理素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 对数的运算性质 条件 ａ > ０ꎬ且 ａ≠１ꎬＭ > ０ꎬＮ > ０ 性质 ｌｏｇａ(ＭＮ) ＝ 　 ｌｏｇａＭ ＋ ｌｏｇａＮ　 ｌｏｇａ Ｍ Ｎ ＝ 　 ｌｏｇａＭ － ｌｏｇａＮ　 ｌｏｇａＭ ｎ ＝ 　 ｎｌｏｇａＭ　 (ｎ∈Ｒ) 　 　 想一想:在积的对数运算性质中ꎬ三项的乘 积式ｌｏｇａ(ＭＮＱ)是否适用? 你能得到一个怎样 的结论? 　 　 练一练: １. 若 ａ > ０ꎬａ≠１ꎬｘ > ０ꎬｙ > ０ꎬｘ > ｙꎬ下列式 子中正确的个数是 ( Ａ ) ①ｌｏｇａｘ􀅰ｌｏｇａｙ ＝ ｌｏｇａ(ｘ ＋ ｙ)ꎻ ②ｌｏｇａｘ － ｌｏｇａｙ ＝ ｌｏｇａ(ｘ － ｙ)ꎻ ③ｌｏｇａ ｘ ｙ ＝ ｌｏｇａｘ ÷ ｌｏｇａｙꎻ ④ｌｏｇａ(ｘｙ) ＝ ｌｏｇａｘ􀅰ｌｏｇａｙ. Ａ. ０　 　 　 　 　 　 　 Ｂ. １ Ｃ. ２ Ｄ. ３ ２. 计算 ｌｏｇ５１０ － ｌｏｇ５２ 等于 ( Ｃ ) Ａ. ｌｏｇ５８ Ｂ. ｌｇ ５ Ｃ. １ Ｄ. ２ 知识点 ２ 换底公式 　 　 若 ａ > ０ꎬ且 ａ≠１ꎻｂ > ０ꎻｃ > ０ꎬ且 ｃ≠１ꎬ则有 ｌｏｇａｂ ＝ 　 　 　 　 　 　 . 想一想:换底公式中底数 ｃ 是特定数还是 任意数? 　 　 练一练: １. 计算:ｌｏｇ２５􀅰ｌｏｇ３２􀅰ｌｏｇ５９ ＝ 　 　 ２　 . ２. 已知 ｌｇ ２ ＝ ａꎬｌｇ ３ ＝ ｂꎬ则 ｌｏｇ３１２ ＝ 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 107 {#{QQABAYCAggCAAhAAAAhCQwVgCkIQkAGCAAoGgAAAIAIBAAFABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 对数的运算性质的应用 　 　 典例 １ 用 ｌｏｇａｘꎬｌｏｇａｙꎬｌｏｇａｚ 表示: (１)ｌｏｇａ(ｘｙ２)ꎻ(２)ｌｏｇａ(ｘ ｙ)ꎻ (３)ｌｏｇａ ３ ｘ ｙｚ２ . 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 对对数式进行计算、化简时ꎬ 一要注意准确应用对数的性质和运算性质. 二 要注意取值范围对符号的限制. 对点练习❶ 用 ｌｏｇａｘ、ｌｏｇａｙ、ｌｏｇａｚ 表示 下列各式: (１)ｌｏｇａ(ｘ３ｙ５)ꎻ(２)ｌｏｇａ ｘ ｙｚ . 题型二 利用对数的运算性质化简、求值 　 　 典例 ２ (１)(ｌｇ ５) ２ ＋ ２ｌｇ ２ － (ｌｇ ２) ２ꎻ (２) ｌｇ ３ ＋ ２５ ｌｇ ９ ＋ ３ ５ ｌｇ ２７ － ｌｇ ３ ｌｇ ８１ － ｌｇ ２７ ꎻ (３)ｌｏｇ５３５ － ２ｌｏｇ５ ７ ３ ＋ ｌｏｇ５７ － ｌｏｇ５１. ８. [分析] 　 熟练掌握对数的运算性质并能逆 用性质是解题的关键. 进行对数运算ꎬ要注意法 则的正用和逆用. 在化简变形的过程中ꎬ要善于 观察、比较和分析ꎬ从而选择快捷、有效的运算 方案. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋