4.3.1 对数的概念(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

４. ３　 对　 数 ４. ３. １　 对数的概念 学习目标 １. 理解对数的概念ꎬ掌握对数的基本性质. ２. 掌握指数式与对数式的互化ꎬ能应用对数的定义和性质解方程. 核心素养 １. 通过生活实例形成对数的概念ꎬ培养数学抽象的素养. ２. 通过指数式与对数式的互化ꎬ对式子进行化简ꎬ提升数学运算的素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 对数的概念 　 　 (１)一般地ꎬ若 ａｘ ＝ Ｎ(ａ > ０ꎬ且 ａ≠１)ꎬ那么 ｘ 叫做以 ａ 为底 Ｎ 的对数ꎬ记作 ｘ ＝ 　 ｌｏｇａＮ　 ꎬ 其中 ａ 叫做对数的　 底数　 ꎬＮ 叫做　 真数　 . (２)ａｘ ＝ Ｎ⇔ｘ ＝ 　 ｌｏｇａＮ　 . (３)常用对数:以 １０ 为底的对数ꎬ记作　 　 　 　 ｌｇ Ｎ　 . 自然对数:以无理数 ｅ 为底的对数ꎬ记作　 　 　 　 ｌｎ Ｎ　 . 　 　 提醒:对数运算是指数运算的逆运算 　 　 练一练: １. 将 ａｂ ＝ Ｎ 化为对数式是 ( Ｂ ) Ａ. ｌｏｇｂａ ＝ Ｎ　 　 　 　 Ｂ. ｌｏｇａＮ ＝ ｂ Ｃ. ｌｏｇＮｂ ＝ ａ Ｄ. ｌｏｇＮａ ＝ ｂ ２. 对数式 ｌｏｇａ８ ＝ ３ 改写成指数式为 ( Ｄ ) Ａ. ａ８ ＝ ３ Ｂ. ３ａ ＝ ８ Ｃ. ８３ ＝ ａ Ｄ. ａ３ ＝ ８ 知识点 ２ 对数的基本性质 　 　 (１)负数和 ０ 没有对数. (２)ｌｏｇａ１ ＝ 　 　 ０　 . (３)ｌｏｇａａ ＝ 　 　 １　 . 　 　 练一练:填空:(１)ｌｎ ｅ ＝ 　 　 １　 ꎻ(２) ｌｇ １０ ＝ 　 　 １　 ꎻ(３)ｌｎ １ ＝ 　 ０　 ꎻ(４)ｌｇ １ ＝ 　 ０　 . 知识点 ３ 对数恒等式 　 　 ａｌｏｇａＮ ＝ 　 　 Ｎ　 ꎻｌｏｇａａｂ ＝ 　 　 ｂ　 . 　 　 练一练:把下列指数式写成对数式ꎬ对数式 写成指数式: (１)２３ ＝ ８ꎻ(２)ｅ ３ ＝ ｍꎻ(３)２７ － １ ３ ＝ １３ . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 104 {#{QQABAYCEoggoABJAAQhCQwFACkIQkACCCAoGBAAEIAIBAQFABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 对数的定义 　 　 典例 １ (１)在对数式 ｙ ＝ ｌｏｇ(ｘ －２)(４ － ｘ) 中ꎬ实数 ｘ 的取值范围是{ｘ ｜２ <ｘ <４ꎬ且 ｘ≠３}　 . (２)将下列对数形式化为指数形式或将指 数形式化为对数形式: ①２ －７ ＝ １１２８ꎻ②ｌｏｇ １ ２ ３２ ＝ － ５ꎻ ③ｌｇ １ ０００ ＝ ３ꎻ④ｌｎ ｘ ＝ ２. [分析] 　 (１)底数大于 ０ 且不等于 １ꎬ真数 大于 ０ꎬ对数式才有意义. (２)由指、对数式互化的方法进行互化. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 １. 指数式与对数式互化的方 法技巧 (１)指数式化为对数式:将指数式的幂作为 真数ꎬ指数作为对数ꎬ底数不变ꎬ写出对数式. (２)对数式化为指数式:将对数式的真数作 为幂ꎬ对数作为指数ꎬ底数不变ꎬ写出指数式. ２. 互化时应注意的问题 (１)利用对数式与指数式间的互化公式互 化时ꎬ要注意字母的位置改变. (２)对数式的书写要规范:底数 ａ 要写在符 号“ ｌｏｇ”的右下角ꎬ真数正常表示. 对点练习❶ 将下列指数式化为对数 式ꎬ对数式化为指数式: (１)３ －２ ＝ １９ ꎻ(２) １ ５ æ è ç ö ø ÷ －３ ＝ １２５ꎻ (３)ｌｏｇ １ ３ ２７ ＝ －３ꎻ(４)ｌｏｇ ｘ ６４