4.2.1 指数函数的概念(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

误区警示 　 　 　 因忽略幂底数的范围而导致错误 　 　 典例 ４ 化简(１ － ａ)[(ａ －１) －２( － ａ) １ ２ ] １ ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 . [错解] 　 (１ － ａ)[(ａ － １) －２􀅰( － ａ) １ ２ ] １ ２ ＝ (１ － ａ)(ａ － １) －１􀅰( － ａ) １ ４ ＝ － ( － ａ) １ ４ . [错因分析] 　 忽略了题中有( － ａ) １ ２ ꎬ即相 当于告知 － ａ≥０ꎬ故 ａ≤０ꎬ这样ꎬ[(ａ － １) －２] １ ２ ≠(ａ － １) －１ . 实际上在解答本类题时除了灵活 运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有 隐含的条件. 　 　 [正解] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [方法点拨] 　 在利用指数幂的运算性质时ꎬ 要关注条件中有无隐含条件ꎬ在出现根式时要注意 是否是偶次方根ꎬ被开方数是否符合要求. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 课堂检测􀅰固双基 １. 下列能正确反映指数幂的推广过程的是( Ａ ) Ａ. 整数指数幂→有理数指数幂→无理数指 数幂 Ｂ. 有理数指数幂→整数指数幂→无理数指 数幂 Ｃ. 整数指数幂→无理数指数幂→有理数指 数幂 Ｄ. 无理数指数幂→有理数指数幂→整数指 数幂 ２. 计算(２ ２) － ２ ２ 的结果是 ( Ｄ ) Ａ. ２　 　 　 　 　 　 　 Ｂ. － ２ Ｃ. ２ Ｄ. １２ ３. ５ ａ２􀅰 ａ ＝ ( Ａ ) Ａ. ａ １３ ２０ Ｂ. ａ １７ ２０ Ｃ. ａ １９ ２０ Ｄ. ａ ７ ２０ ４. 设 ａ １ ２ － ａ － １ ２ ＝ ２ꎬ则ａ ２ ＋ １ ａ ＝ 　 　 ４　 . 请同学们认真完成练案[２６] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４. ２　 指数函数 ４. ２. １　 指数函数的概念 学习目标 １. 通过具体实例ꎬ了解指数函数的实际意义. ２. 理解指数函数的概念. 核心素养 １. 通过理解指数函数的概念和意义ꎬ发展数学抽象素养. ２. 通过指数函数的实际应用ꎬ发展数学建模素养. 095 {#{QQABCYCAggCAAAJAAQhCQwEwCkIQkBACCIoGAAAAMAIBQRFABAA=}#} 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 指数函数 　 　 函数　 ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ꎬ且 ａ≠１)　 叫做指数函 数ꎬ其中指数 ｘ 是自变量ꎬ定义域是　 Ｒ　 . [拓展]指数函数的底数规定 ａ > ０ꎬ且 ａ≠１ 的原因: (１)如果 ａ ＝ ０ꎬ当 ｘ > ０ 时ꎬａｘ恒等于０ꎬ没有 研究的必要ꎻ当 ｘ≤０ 时ꎬａｘ无意义. (２)如果 ａ < ０ꎬ例如 ｙ ＝ ( － ４) ｘꎬ这时对于 ｘ ＝ １２ ꎬ １ ４ ꎬ􀆺ꎬ该函数无意义. (３)如果 ａ ＝ １ꎬ则 ｙ ＝ １ｘ是一个常量ꎬ没有 研究的价值. 提醒:指数函数解析式的特征: (１)ａ > ０ꎬ且 ａ≠１ꎻ(２)ａｘ的系数为 １ꎻ(３)自 变量 ｘ 的系数为 １ 的函数. 练一练: １. 下列函数中一定是指数函数的是 ( Ｃ ) Ａ. ｙ ＝ ２ｘ ＋１ Ｂ. ｙ ＝ ｘ２ Ｃ. ｙ ＝ ３ － ｘ Ｄ. ｙ ＝ － ２􀅰３ｘ ２. 若函数 ｆ(ｘ)是指数函数ꎬ且 ｆ(２) ＝ ２ꎬ则 ｆ(ｘ) ＝ 　 　 　 　 　 . 知识点 ２ 指数型函数模型 　 　 形如 ｙ ＝ ｋａｘ(ｋ∈Ｒꎬ且 ｋ≠０ꎻａ > ０ 且 ａ≠１) 的函数是指数型函数模型. 想一想:设原有量为 Ｎꎬ每次的增长量为 ｐꎬ 经过 ｘ 次增长ꎬ该量增长到 ｙꎬ则 ｘꎬｙ 之间满足 的关系式是什么? 　 　 练一练:按复利计算利率的储蓄ꎬ存入银行 ２ 万元ꎬ如