4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

４. １. ２　 无理数指数幂及其运算性质 学习目标 １. 了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程. ２. 理解指数幂的运算性质. ３. 能进行指数幂(实数幂)的运算. 核心素养 １. 通过实数指数幂的运算性质的推导ꎬ培养逻辑推理素养. ２. 借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值ꎬ培养数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 无理数指数幂 　 　 无理数指数幂 ａα ( ａ > ０ꎬα 是无理数)是 　 一个确定的实数　 . 想一想:２ ２一定是实数吗? 知识点 ２ 实数指数幂的运算性质(ａ > ０ꎬｂ > ０ꎬｒꎬｓ∈Ｒ) 　 　 (１)ａｒａｓ ＝ 　 ａｒ ＋ ｓ 　 . (２)(ａｒ) ｓ ＝ 　 ａｒｓ 　 . (３)(ａｂ) ｒ ＝ 　 ａｒｂｒ 　 . 想一想:指数幂是怎样从正整数指数幂推 广到实数指数幂的? 　 　 练一练: １. 下列说法正确的个数是 ( Ｂ ) (１)无理数指数幂有的不是实数. (２)指数幂 ａα ( ａ > ０) 中的 α 只能是有 理数. (３)(３ ２) ２ ＝ ９. Ａ. ０　 　 　 Ｂ. １　 　 　 Ｃ. ２　 　 　 Ｄ. ３ ２. ａ π ３ ａ π ６ ＝ 　 　 　 　 　 . ３. (２ ２) ２ ２ ＝ 　 　 １６　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 无理数指数幂的运算 　 　 典例 １ 计算下列各式: (１) ３ ２ ３ ２ ２( ) ３ ２ꎻ (２)ａ π ６ ａ ２π ３ ａπ . 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 关于无理数指数幂的运算 (１)底数相同时直接对指数上的无理数进 行加减运算. (２)若式子中含有根式ꎬ则先化为指数式再 进行运算ꎬ一般指数中的根式可以保留. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 093 {#{QQABAYAAogioAABAAQgCQwVwCkEQkBACCIoGBAAMIAIBQRFABAA=}#} 　 　 对点练习❶ 计算下列各式: (１) ( π ３ π ３ ) ２ ３ ꎻ (２)(ｍ π ３ ｍ － π ６ ) １２ . 题型二 指数幂运算的条件求值问题 　 　 典例 ２ 已知 ａ １ ２ ＋ ａ － １ ２ ＝ ３ꎬ求下列各式 的值. (１)ａ ＋ ａ －１ꎻ(２)ａ２ ＋ ａ －２ꎻ(３)ａ ３ ２ － ａ － ３ ２ ａ １ ２ － ａ － １ ２ . [分析] 　 利用完全平方差公式求(１)(２)ꎬ 利用立方差公式求(３) . 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 解决条件求值问题的一般方 法———整体代入法 对于条件求值问题ꎬ一般先化简代数式ꎬ再 将字母取值代入求值. 但有时字母的取值不知 道或不易求出ꎬ这时可将所求代数式恰当地变 形ꎬ构造出与已知条件相同或相似的结构ꎬ从而 通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如 下(其中 ａ > ０ꎬｂ > ０): (１)ａ ± ２ａ １ ２ ｂ １ ２ ＋ ｂ ＝ (ａ １ ２ ± ｂ １ ２ ) ２ꎻ (２)