4.1.1 n次方根与分数指数幂(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

第四章　 指数函数与对数函数 ４. １　 指　 数 ４. １. １　 ｎ 次方根与分数指数幂 学习目标 １. 理解 ｎ 次方根及根式的概念ꎬ掌握根式的性质. ２. 能利用根式的性质对根式进行运算. ３. 理解分数指数幂的含义ꎬ掌握根式与分数指数幂的互化. 核心素养 １. 通过学习 ｎ 次方根、根式ꎬ培养数学抽象素养. ２. 借助根式的性质对根式进行运算ꎬ培养数学运算素养. ３. 通过理解分数指数幂的含义提升数学抽象素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ ｎ 次方根 　 　 １. ａ 的 ｎ 次方根的定义 一般地ꎬ如果　 ｘｎ ＝ ａ　 ꎬ那么 ｘ 叫做 ａ 的 ｎ 次方根ꎬ其中 ｎ > １ꎬ且 ｎ∈Ｎ∗ . ２. ａ 的 ｎ 次方根的表示 ｎ 的奇偶性 ａ 的 ｎ 次方根的表示符号 ａ 的取值范围 ｎ 为奇数 　 　 　 　 Ｒ ｎ 为偶数 　 　 　 　 [０ꎬ ＋ ∞ ) 　 　 想一想:正数 ａ 的 ｎ 次方根一定有两个吗? 　 　 练一练: 　 　 １. ２７ 的立方根是　 　 ３　 . ２. ４ 的平方根是　 　 ± ２　 . 知识点 ２ 根式 　 　 １. 根式的定义 式子 ｎ ａ叫做根式ꎬ这里 ｎ 叫做　 根指数　 ꎬ ａ 叫做　 被开方数　 . ２. 根式的性质(ｎ > １ꎬ且 ｎ∈Ｎ∗) (１)负数没有　 偶次　 方根. (２)０ 的任何次方根都是 ０ꎬ即ｎ０ ＝ 　 ０　 . (３)( ｎ ａ) ｎ ＝ 　 　 ａ　 . (４)ｎ 为奇数时ꎬ ｎ ａｎ ＝ 　 　 ａ　 . (５)ｎ 为偶数时ꎬ ｎ ａｎ ＝ ｜ａ ｜ ＝ 　 ａ　 ꎬａ≥０ꎬ 　 － ａ　 ꎬａ <０.{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 089 {#{QQABCYAEggCIABAAAAhCQwEACkEQkBCCAAoGRBAAMAIBgRFABAA=}#} 想一想:( ｎ ａ) ｎ 与 ｎ ａｎ中的字母 ａ 的取值范 围是否一样? 　 　 练一练: １. ３ － ８等于 ( Ｂ ) Ａ. ２　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ. － ２ Ｃ. ± ２ Ｄ. － ８ ２. 下列各式正确的是 ( Ａ ) Ａ. ( ３ ａ) ３ ＝ ａ Ｂ. ( ４７) ４ ＝ － ７ Ｃ. ( ５ ａ) ５ ＝ ｜ ａ ｜ Ｄ. ６ ａ６ ＝ ａ 知识点 ３ 分数指数幂的意义(ａ > ０ꎬｍꎬｎ∈ Ｎ∗ꎬ且 ｎ > １) 正分数指数幂 ａ ｍ ｎ ＝ 　 　 　 　 负分数指数幂 ａ － ｍ ｎ ＝ １ ａ ｍ ｎ ＝ １ｎ ａｍ ０ 的分数 指数幂 ０ 的正分数指数幂等于 ０ꎬ０ 的负分 数指数幂没有意义 　 　 提醒:１. 分数指数幂 ａ ｍ ｎ 不可理解为ｍｎ 个 ａ 相乘ꎬ它是根式的一种写法. ２. 把根式 ｎ ａｍ化成分数指数幂的形式时ꎬ 不要轻易对ｍｎ进行约分. 　 　 练一练:４ － ３ ２ 可化为 ( Ｃ ) Ａ. ８ Ｂ. ２ ４ ３ Ｃ. １８ Ｄ. ２ ３ ４ 知识点 ４ 有理数指数幂的运算性质(ａ >０ꎬｂ >０ꎬｒꎬｓ∈Ｑ) 　 　 (１)ａｒａｓ ＝ 　 ａｒ ＋ ｓ 　 . (２)(ａｒ) ｓ ＝ 　 ａｒｓ 　 . (３)(ａｂ) ｒ ＝ 　 ａｒｂｒ 　 . [拓展](１)ａｒ ÷ ａｓ ＝ ａｒ － ｓꎻ (２)ａ ｒ ｂｒ ＝ ａｂ æ è ç ö ø ÷ ｒ . 练一练: １. 若 ａ > ０ꎬｎꎬｍ 为实数ꎬ则下列各式中正确 的是 ( Ｄ ) Ａ. ａｍ ÷ ａｎ ＝ ａ ｍ ｎ Ｂ. ａｎ􀅰ａｍ ＝ ａｍ􀅰ｎ Ｃ. (ａｎ)ｍ ＝ ａｍ ＋ ｎ Ｄ. １ ÷ ａｎ ＝ ａ０ － ｎ 　 　 ２. 化简[( － ３) ２] － １２ ＝ 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 ｎ 次方根的概念 　 　 典例 １ (１)１６ 的平方根为　 　 ± ４　 ꎬ － ２７ 的 ５ 次方根为　 　 　 　 ꎻ (２)已知 ｘ７ ＝ ６ꎬ则 ｘ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (３)等式 (ａ －３)(ａ２ －９) ＝ (３ － ａ) ａ ＋３成 立的实数 ａ 的取值范围是　 ａ∈[ － ３ꎬ３]