3.2.1 单调性与最大（小）值(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

３. ２　 函数的基本性质 ３. ２. １　 单调性与最大(小)值 第 １ 课时　 函数的单调性 学习目标 １. 从图象直观、定性描述和定量分析三个方面ꎬ理解和研究函数的单调性. ２. 会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性. ３. 会求一些具体函数的单调区间. 核心素养 １. 借助单调性的证明ꎬ培养逻辑推理素养. ２. 利用求单调区间及应用单调性解题ꎬ培养直观想象和数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 增函数与减函数的定义 前提 条件 设函数 ｆ(ｘ)的定义域为 Ｉꎬ区间 Ｄ⊆Ｉ 条件 　 ∀ｘ１ꎬｘ２∈Ｄ　 ꎬｘ１ < ｘ２ 都有 ｆ(ｘ１) < ｆ(ｘ２) 都有 ｆ(ｘ１) > ｆ(ｘ２) 图示 结论 ｆ( ｘ)在区间 Ｄ 上单调 　 递增　 ｆ( ｘ)在区间 Ｄ 上单调 　 递减　 特殊 情况 当函数 ｆ( ｘ)在它的定 义域上单调递增时ꎬ我 们就称它是增函数 当函数 ｆ( ｘ)在它的定 义域上单调递减时ꎬ我 们就称它是减函数 　 　 想一想:在函数单调性的定义中ꎬ能否去掉 “任意”? 　 　 练一练: １. 判断下列说法是否正确ꎬ正确的打“√”ꎬ 错误的打“ × ” . (１)函数 ｆ(ｘ)的定义域为 Ｉꎬ如果定义域内 某个区间 Ｄ 上存在两个自变量 ｘ１ꎬｘ２ꎬ当 ｘ１ < ｘ２ 时ꎬ有 ｆ(ｘ１) < ｆ(ｘ２)ꎬ则 ｆ(ｘ)在区间 Ｄ 上是增函 数. ( × ) (２)若 ｆ( ｘ)在区间 Ｄ 上为减函数ꎬ则在此 区间上函数值随自变量的增大而减小. ( √ ) (３)函数 ｆ(ｘ) ＝ １ｘ在其定义域上为减函数. ( × ) (４)若 ｆ(ｘ)是 Ｒ 上的减函数ꎬ则 ｆ( － ３) > ｆ(２) . ( √ ) (５) ｆ ( ｘ) 在区间 Ｄ 上为增函数ꎬ且 ｘ１ꎬ ｘ２∈Ｄꎬ若ｆ(ｘ１) < ｆ(ｘ２)ꎬ则 ｘ１ < ｘ２ . ( √ ) ２. 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间(ａꎬｂ)上是减函数ꎬ ｘ１ꎬｘ２∈(ａꎬｂ)ꎬ且 ｘ１ < ｘ２ꎬ则有 ( Ｂ ) Ａ. ｆ(ｘ１) < ｆ(ｘ２)　 　 　 Ｂ. ｆ(ｘ１) > ｆ(ｘ２) Ｃ. ｆ(ｘ１) ＝ ｆ(ｘ２) Ｄ. 以上都有可能 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 068 {#{QQABAYAEggAAAhBAAQgCQwFgCEIQkAECAAoGRBAIIAIBQAFABAA=}#} 知识点 ２ 函数的单调性与单调区间 　 　 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在　 区间 Ｄ　 上是单调递增 或单调递减ꎬ则函数在区间 Ｄ 上具有(严格的) 单调性ꎬ区间 Ｄ 叫做函数的单调区间. 想一想:区间 Ｄ 一定是函数的定义域吗? 　 　 练一练: １. 下列函数中ꎬ在区间(０ꎬ２)上为增函数 的是 ( Ｂ ) Ａ. ｙ ＝ ３ － ｘ Ｂ. ｙ ＝ ｘ２ ＋ １ Ｃ. ｙ ＝ １ｘ Ｄ. ｙ ＝ － ｘ ２ ２. 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的图象如图所示ꎬ其单调递 增区间是 ( Ｃ ) Ａ. [ － ４ꎬ４] Ｂ. [ － ４ꎬ － ３]∪[１ꎬ４] Ｃ. [ － ３ꎬ１] Ｄ. [ － ３ꎬ４] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 求函数的单调区间 　 　 典例 １ 如图为函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ꎬｘ∈[ － ４ꎬ ７]的图象ꎬ指出它的单调区间. [分析] 　 (１)函数 ｆ( ｘ)在 Ｄ 上单调递增 (或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征? (２)单调增、减区间与函数在该区间上为 增、减函数一样吗? 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋