2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

２. ３　 二次函数与一元二次方程、不等式 第 １ 课时　 二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 １. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程ꎬ了解一元二次不等式的现实意义. ２. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式ꎬ并能用集合表示一元二次不等式的解集. ３. 借助一元二次函数的图象ꎬ了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 核心素养 １. 从函数观点认识不等式ꎬ感悟数学知识之间的关联ꎬ培养数学抽象素养. ２. 在学习一元二次不等式的解法的过程中ꎬ提升直观想象、数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 一元二次不等式的概念 　 　 只含有　 一个　 未知数ꎬ并且未知数的最 高次数是 　 　 ２　 的不等式ꎬ称为一元二次不 等式. 一元二次不等式的一般形式是: ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０(ａ≠０)或 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ < ０ꎬ其 中 ａꎬｂꎬｃ 均为常数ꎬａ≠０. 提醒:对一元二次不等式的再理解 (１)一元ꎬ即只含一个未知数ꎬ其他元素均 为常数(或参数)ꎻ (２)二次ꎬ即未知数的最高次数必须为 ２ꎬ 且其系数不能为 ０. 　 　 练一练:已知下列不等式:①ａｘ２ ＋ ２ｘ ＋ １ > ０ꎻ②ｘ２ － ｙ > ０ꎻ③ － ｘ２ － ３ｘ < ０ꎻ④ ｘ ｘ２ － ３ > ０. 其 中一元二次不等式的个数为 ( Ａ ) Ａ. １　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ. ２ Ｃ. ３　 　 Ｄ. ４ 知识点 ２ 二次函数的零点 　 　 一般地ꎬ对于二次函数 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃꎬ我们 把使 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ 的 实数 ｘ　 叫做二次函数 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ 的零点. 想一想:二次函数 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ 的零点就 是图象与 ｘ 轴的交点吗? 练一练:函数 ｙ ＝ ｘ２ － ２ｘ － ３ 的零点为　 － １ 或 ３　 . 知识点 ３ 二次函数与一元二次方程、不等 式的解的对应关系 Δ ＝ ｂ２ －４ａｃ Δ > ０ Δ ＝ ０ Δ < ０ ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａ > ０) 的图象 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ > ０) 的根 有两个不相等 的实数根 ｘ１ꎬ ｘ２(ｘ１ < ｘ２) 有两个相等 的实数根 ｘ１ ＝ ｘ２ ＝ － ｂ ２ａ 无实数根 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０(ａ > ０) 的解集 {ｘ ｜ ｘ > ｘ２ 或 ｘ < ｘ１} ｘ ｘ≠－ ｂ２ａ{ } Ｒ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ < ０(ａ > ０) 的解集 {ｘ ｜ ｘ１ < ｘ < ｘ２} ⌀ ⌀ 　 　 提醒:一元二次不等式的解集的端点就是 对应的一元二次方程的根. 练一练: １. 不等式 ｘ２ － ２ｘ － ３ > ０ 的解集为　 {ｘ ｜ ｘ < － １ 或 ｘ > ３}　 . ２. 不等式 ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ ６ < ０ 的解集为　 ⌀　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 045 {#{QQABAYAAogggABJAAQhCQwFACEIQkBACAAoGhAAEIAIBwRFABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 解不含参数的一元二次不等式 　 　 典例 １ 解下列不等式: (１)２ｘ２ ＋ ５ｘ － ３ < ０ꎻ(２) － ３ｘ２ ＋ ６ｘ≤２ꎻ (３)４ｘ２ － ４ｘ ＋ １ > ０ꎻ(４) － ｘ２ ＋ ６ｘ － １０ > ０. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 解不含参数的一元二次不等 式的一般步骤 (１)化标准. 通过对不等式的变形ꎬ使不等 式右侧为 ０ꎬ使