2.2 基本不等式(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

２. ２　 基本不等式 第 １ 课时　 基本不等式 学习目标 １. 了解基本不等式的证明过程. ２. 能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小. 核心素养 １. 通过不等式的证明ꎬ培养逻辑推理素养. ２. 借助基本不等式形式求简单的最值问题ꎬ提升数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 重要不等式与基本不等式 　 　 提醒:基本不等式的常见变形 (１)ａ ＋ ｂ≥２ ａｂꎻ (２)ａｂ≤ ａ ＋ ｂ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ≤ａ ２ ＋ ｂ２ ２ (其中 ａ > ０ꎬｂ > ０ꎬ当且仅当 ａ ＝ ｂ 时等号成立) . 想一想:(１)不等式 ａ２ ＋ ｂ２≥２ａｂ 与不等式 ａｂ≤ａ ＋ ｂ２ 成立的条件一样吗? (２)基本不等式中的 ａꎬｂ 只能是具体的某 个数吗? 　 　 练一练:判断下列说法是否正确ꎬ正确的打 “√”ꎬ错误的打“ × ” . (１)６ 和 ８ 的几何平均数为 ２ ３. ( × ) (２)ａ２ ＋１≥２ａ 中等号成立的条件是 ａ ＝１. ( √ ) (３)若 ａ≠０ꎬ则 ａ ＋ １ａ≥２ ａ􀅰 １ ａ ＝ ２. ( × ) ( ４ ) 若 ａ ≠ ０ꎬ 则 ( － ａ ) ＋ － １ａ æ è ç ö ø ÷ ≤ －２ ( －ａ)􀅰 １( －ａ) ＝ － ２. ( × ) 知识点 ２ 基本不等式与最值 　 　 已知 ｘꎬｙ 都为正数ꎬ则 (１)若 ｘ ＋ ｙ ＝ ｓ(和为定值)ꎬ则当 ｘ ＝ ｙ 时ꎬ 积 ｘｙ 取得最大值　 　 　 　 . (２)若 ｘｙ ＝ ｐ(积为定值)ꎬ则当 ｘ ＝ ｙ 时ꎬ和 ｘ ＋ ｙ 取得最小值　 　 　 　 . 提醒:利用基本不等式求最值时要牢记“一 正、二定、三相等” (１)一正:各项必须为正ꎻ (２)二定:各项之和或各项之积为定值ꎻ (３)三相等:必须验证取等号时条件是否 具备. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 040 {#{QQABCYAEggAAAAIAAAgCQwUwCEIQkBCCCIoGxBAIMAIBARFABAA=}#} 练一练: １. 若 ｘ > ０ꎬ则 ｙ ＝ ４ｘ ＋ ｘ 的最小值为　 ４　 . ２. 已知 ０ < ｘ < １ꎬ则 ｘ(１ － ｘ)的最大值为 　 　 　 　 　 ꎬ此时 ｘ ＝ 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 利用基本不等式判断命题真假 　 　 典例 １ (１)设 ０ < ａ < ｂꎬ则下列不等式 中正确的是 ( Ｂ ) Ａ. ａ < ｂ < ａｂ < ａ ＋ ｂ２ Ｂ. ａ < ａｂ < ａ ＋ ｂ２ < ｂ Ｃ. ａ < ａｂ < ｂ < ａ ＋ ｂ２ Ｄ. ａｂ < ａ < ａ ＋ ｂ２ < ｂ (２)下列不等式一定成立的是 ( Ｃ ) Ａ. ｘ２ ＋ １４ > ｘ(ｘ > ０) Ｂ. ｘ ＋ １ｘ ≥２(ｘ≠０) Ｃ. ｘ２ ＋ １≥２ ｜ ｘ ｜ (ｘ∈Ｒ) Ｄ. １ ｘ２ ＋ １ > １(ｘ∈Ｒ) 　 　 [归纳提升] 　 利用基本不等式判断命题真假 的步骤 第一步:检查是否满足应用基本不等式的 条件ꎻ 第二步:应用基本不等式ꎻ 第三步:检验等号是否成立. 对点练习❶ 下列不等式中正确的是 ( Ａ ) Ａ. 当 ｘ > ０ 时ꎬ ｘ ＋ １ ｘ ≥２ Ｂ. 当 ｘ≥２ 时ꎬｘ ＋ １ｘ 的最小值为 ２ Ｃ. ａｂ≥ａ ＋ ｂ２ Ｄ. ａ２ ＋ ｂ２≥４ａｂ 题型二 利用基本不等式求最值 　 　 典例 ２ (１)当 ｘ > ０ 时ꎬ求１２ｘ ＋ ４ｘ 的最 小值ꎻ (２)当 ｘ < ０ 时ꎬ求１２ｘ ＋ ４ｘ 的最大值ꎻ (３)设 ０ < ｘ < ３２ ꎬ求函数 ｙ ＝ ４ｘ(３ － ２ｘ)的 最大值. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�