1.4.2 充要条件(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

课堂检测􀅰固双基 １. 若 ａ∈Ｒꎬ则“ａ ＝ １”是“ ｜ ａ ｜ ＝ １”的 ( Ａ ) Ａ. 充分条件 Ｂ. 必要条件 Ｃ. 既不是充分条件ꎬ也不是必要条件 Ｄ. 无法判断 ２. 若 ｐ 是 ｑ 的充分条件ꎬ则 ｑ 是 ｐ 的 ( Ｂ ) Ａ. 充分条件 Ｂ. 必要条件 Ｃ. 既不是充分条件也不是必要条件 Ｄ. 既是充分条件又是必要条件 ３. 用符号“⇒”与“ ”填空: (１)ｘ２ ＝ １ 　 　 　 　 ｘ ＝ １ꎻ (２)ａꎬｂ 都是偶数　 ⇒　 ａ ＋ ｂ 是偶数. ４. 已知 Ｍ ＝ {ｘ ｜ ａ － １ < ｘ < ａ ＋ １}ꎬＮ ＝ {ｘ ｜ － ３ < ｘ < ８}ꎬ若 Ｎ 是 Ｍ 的必要条件ꎬ则实数 ａ 的取 值范围为　 {ａ ｜ － ２≤ａ≤７}　 . 请同学们认真完成练案[６] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １. ４. ２　 充要条件 学习目标 １. 结合具体实例ꎬ理解充要条件的意义. ２. 会求(判断)某些问题成立的充要条件. ３. 能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明. 核心素养 １. 通过充要条件的判断ꎬ提升逻辑推理素养. ２. 借助充要条件的应用ꎬ培养数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 逆命题 　 　 将命题“若 ｐꎬ则 ｑ”中的条件 ｐ 和结论 ｑ 互 换ꎬ就得到一个新的命题“若 ｑꎬ则 ｐ”ꎬ称这个命 题为原命题的逆命题. 知识点 ２ 充要条件 　 　 (１)定义:如果“若 ｐꎬ则 ｑ”和它的逆命题 “若 ｑꎬ则 ｐ”均是真命题ꎬ即既有　 ｐ⇒ｑ　 ꎬ又有 　 ｑ⇒ｐ　 ꎬ就记作 ｐ⇔ｑꎬ此时ꎬｐ 既是 ｑ 的充分条 件ꎬ也是 ｑ 的必要条件ꎬ我们说 ｐ 是 ｑ 的充分必 要条件ꎬ简称为　 充要　 条件. (２)条件与结论的等价性:如果 ｐ 是 ｑ 的充 要条件ꎬ那么 ｑ 也是 ｐ 的充要条件. 概括地说ꎬ如 果 ｐ⇔ｑꎬ那么 ｐ 与 ｑ 互为　 充要　 条件. 提醒:命题按条件和结论的充分性、必要性 可分四类: ①充分必要条件(充要条件)ꎬ即 ｐ⇒ｑ 且 ｑ⇒ｐꎻ ②充分不必要条件ꎬ即 ｐ⇒ｑ 且 ｑ ｐ. ③必要不充分条件ꎬ即 ｐ ｑ 且 ｑ⇒ｐ. ④既不充分也不必要条件ꎬ即 ｐ ｑ 且 ｑ ｐ. 　 　 想一想:“ ｐ 是 ｑ 的充要条件”与“ ｐ 的充要 条件是 ｑ”的区别在哪里? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 020 {#{QQABCYCAggCAABAAAAhCQwEACEEQkAACCAoGxBAAMAIBQQFABAA=}#} 练一练: １. 设 ｘ∈Ｒꎬ则“２ － ｘ≥０”是“ － １≤ｘ － １≤ １”的 ( Ｂ ) Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件 Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 ２. 设 ａꎬｂꎬｃ 分别是△ＡＢＣ 的三条边ꎬ且 ａ≤ ｂ≤ｃꎬ则“ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２”是“△ＡＢＣ 为直角三角形” 的 ( Ｃ ) Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件 Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 ３. 下列各题中ꎬ ｐ 是 ｑ 的充要条件的是 　 (１)(４)　 . (填序号) (１)ｐ:３ｘ ＋ ２ > ５ꎬｑ: － ２ｘ － ３ < － ５ꎻ (２)ｐ:ａ > ２ꎬｂ < ２ꎬｑ:ａ > ｂꎻ (３)ｐ:四边形的两条对角线互相垂直平分ꎬ ｑ:四边形是正方形ꎻ (４) ｐ:ａ≠０ꎬｑ:关于 ｘ 的方程 ａｘ ＝ １ 有唯 一解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 充要条件的判断 　 　 典例 １ (１)已知集合 Ａ ＝ { ｘ ｜ ｘ ＝ ３ｋꎬ ｋ∈Ｎ}ꎬＢ ＝ {ｘ ｜ ｘ ＝ ６ｚꎬｚ∈Ｎ}ꎬ“ｘ∈Ａ”是“ｘ∈Ｂ” 的　 　 　 　 条件 ( Ｂ ) Ａ. 充分不必要　 　 Ｂ. 必要不充分 Ｃ. 充要 Ｄ. 既不充分也不必要 (２)判断下列各题中ꎬｐ 是 ｑ 的什么条件 (在“充分不必要条件” “必要不充分条件” “充 要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种 作答) . ①ｐ: ｜ ｘ ｜ ＝ ｜ ｙ ｜ ꎬｑ:ｘ３ ＝ ｙ３ꎻ ②ｐ:△ＡＢＣ 中ꎬＡＢ > ＡＣꎬｑ:△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ >∠Ｂꎻ ③ｐ:Ａ⊆Ｂꎬｑ:Ａ∪Ｂ ＝ Ｂꎻ ④ｐ:两个三角形全等ꎬｑ:两个三角