1.4.1 充分条件与必要条件(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

１. ４　 充分条件与必要条件 １. ４. １　 充分条件与必要条件 学习目标 １. 理解充分条件、必要条件的概念. ２. 了解充分条件与判定定理ꎬ必要条件与性质定理的关系. ３. 能通过充分性、必要性解决简单的问题. 核心素养 １. 通过充分条件、必要条件的判断ꎬ提升逻辑推理素养. ２. 借助充分条件、必要条件的应用ꎬ培养数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 充分条件与必要条件 命题真假 “若 ｐꎬ则 ｑ”是真命题 “若 ｐꎬ则 ｑ”是假命题 推出关系 ｐ⇒ｑ ｐ ｑ 条件关系 ｐ 是 ｑ 的充分　 条件 ｑ 是 ｐ 的必要　 条件 ｐ 不是 ｑ 的充分　 条件 ｑ 不是 ｐ 的必要　 条件 　 　 想一想:在逻辑推理中ꎬｐ⇒ｑ 能表达成哪几 种说法? 　 　 练一练: １. (多选题)下列“若 ｐꎬ则 ｑ”形式的命题 中ꎬｑ 是 ｐ 的必要条件是 ( 　 ) Ａ. 若 ｘｙ ＝ １ꎬ则 ｘꎬｙ 互为倒数 Ｂ. 若 ａ∈Ｑꎬ则 ａ∈Ｒ Ｃ. 若 ｘ≠ －１ꎬ则 ｘ２ － １≠０ Ｄ. 若 ａｂ ＝ ０ꎬ则 ａ ＝ ０ ２. 已知实数 ｘꎬ“ｘ≥２”是“ｘ≥１”的充分　 条件(填“充分”或“必要”) . 知识点 ２ 判定定理、性质定理与充分条件、 必要条件的关系 　 　 (１)数学中的每一条判定定理都给出了相 应数学结论成立的一个充分条件. (２)数学中的每一条性质定理都给出了相 应数学结论成立的一个必要条件. 　 　 练一练: １. (多选题)在平面内ꎬ下列是“四边形是矩 形”的充分条件的是 ( 　 ) Ａ. 四边形是平行四边形且对角线相等 Ｂ. 四边形有三个角是直角 Ｃ. 四边形是平行四边形且有一个角为直角 Ｄ. 四边形的对角线垂直 ２. 你能将下面的性质定理写成“若 ｐꎬ则 ｑ” 的形式ꎬ并用必要条件的语言表述吗? (１)平行四边形的对角线相互平分ꎻ (２)菱形的对角线互相垂直. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 017 {#{QQABaYiAogiAAhAAAAgCQw2CCkEQkBCCAAoGBAAAIAABQAFABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 充分条件的判断 　 　 典例 １ (１)(多选题)下列“若 ｐꎬ则 ｑ” 形式的命题中ꎬｐ 是 ｑ 的充分条件的是 ( 　 ) Ａ. 若 ｘ∈{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}ꎬ则 ｘ∈{ｘ∈Ｑ ｜０ < ｘ <５} Ｂ. 若 ｘ ＝ １ꎬ则 ｘ２ － ４ｘ ＋ ３ ＝ ０ Ｃ. 若 ｜ ｘ ｜ ＝ ｜ ｙ ｜ ꎬ则 ｘ ＝ ｙ Ｄ. 若△ＡＢＣ 中ꎬＡ > Ｂꎬ则 ＢＣ > ＡＣ (２)下列“若 ｐꎬ则 ｑ”形式的命题中ꎬ哪些命 题中的 ｐ 是 ｑ 的充分条件? ①若 ａ < ｂꎬ则 ａｂ < １ꎻ ②若 ｘ > １ꎬ则 ｘ > ２ꎻ ③已知 ａꎬｂ∈Ｒꎬ若 ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ０ꎬ则 ａ ＝ ｂ ＝ ０ꎻ ④若∠Ａ１ ＝ ∠Ａ２ ＝ ３０°ꎬＢ１Ｃ１ ＝ Ｂ２Ｃ２ ＝ ２ꎬ Ａ１Ｂ１ ＝ Ａ２Ｂ２ ＝ ２ꎬ则△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 和△Ａ２Ｂ２Ｃ２ 全等. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 充分条件的两种判断方法 (１)定义法 第一步 确定谁是条件ꎬ谁是结论 第二步 ↓ 尝试由条件推结论 第三步 ↓ 若条件能推出结论ꎬ则条件为结论的 充分条件ꎬ否则条件就不是结论的充 分条件 (２)集合关系法 已知条件甲“ ｘ∈Ａ”ꎬ条件乙“ ｘ∈Ｂ”ꎬ若 Ａ⊆Ｂꎬ则甲是乙的充分条件. 对点练习❶ 下列“若 ｐꎬ则 ｑ”形式的命 题中ꎬ哪些命题中 ｐ 是 ｑ 的充分条件? (１)若 ｘ２ ＝ ｙ２ꎬ则 ｘ ＝ ｙꎻ (２)若内错角相等ꎬ则两