2.5角平分线的性质 课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

2.5角平分线的性质 1、利用折纸探索角的轴对称性，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。 2、运用作图和实验的方法，探索角平分线的性质及逆定理 3、会用尺规作出角的平分线，能规范地写出已知、求证和作法。 教学目标 （一）知识回顾 1、角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. o B C A 1 2 2、点到直线距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段 的长度，叫做这个点到直线的距离. A B O 垂线段PO的长度 3 3 请同学们用8分钟时间阅读课本51-53页全部内容，并思考以下几个问题： 1.角是轴对称图形吗？它的对称轴是谁？ 2.角平分线有什么性质？ 3.如何利用尺规作图做已知角的角平分线？ 自学指导： 在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为 AD.你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ C B A D 活动一： 结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线 是它的对称轴. 探究角的轴对称性 （二）探究新知 请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什么发现？说明你的理由. 探索角平分线的第一个性质 （二）探究新知 活动二： C B M A P N D 已知：AD是∠BAC的角平分线 点P是AD上任意一点，PM⊥AB PN⊥AC 求证：PM=PN C B M A P N D 1 2 证明：∵AD平分∠BAC ∴ ∠1= ∠2 ∵PM⊥AB PN⊥AC ∴ ∠ AMP=∠ANP=90º 在△AMP与△ANP中 ∵ ∠1= ∠2（已证） ∠ AMP=∠ANP（已证） AP=AP（公共边） ∴ △AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN 角平分线的性质 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. C B M A P N D 应用所具备的条件： （1）AD为角的平分线； （2）点P在该平分线上； （3）PM⊥AB PN⊥AC 作用： 判断线段相等的依据. 符号语言： ∵AD平分∠BAC PM⊥AB PN⊥AC（已知） ∴PM=PN（角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。） 8 8 www.czsx.com.cn 判断正误，并说明理由： 1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分 别在OA、OB上，则PD=PE ( ) 2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则 PE=PD.( ) 3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA 的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.( ) 测试一: （1题） （2题） （3题） × √ × 反过来，角的内部到角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 思考 B 自学探究三： 10 10 A B C 合作探究 ∥ ∥ 则P是 内部一 个到 的两边AB、AC距 离相等的点。作直线AP。 如果将 沿AP对折， 你发现 重合吗？ 由此，你能得到什么结论？ P 角平分线的判定 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）点P在∠BAC的内部； （2）PM⊥AB PN⊥AC； （3）PM=PN 作用： 判断点是否在角平分线上的依据. 符号语言： ∵ PM⊥AB PN⊥AC PM=PN（已知） ∴点P在∠BAC的角平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.） ∴∠1=∠2（角的平分线的定义） C B M A P N D 1 2 ） 12 12 www.czsx.com.cn 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 理： 性质用于证明两线段相等 判定用于证明两角相等 如图，P 是∠AOB 内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点 E，F，且PE = PF . Q是