2.5角平分线的性质 课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

2.5.1 角平分线的性质 复习回顾： 角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. O B C A 1 2 符号语言： ∵射线OC是∠AOB的角平分线 ∴ ∠1= ∠2 2 2 1.探索角的轴对称性质。 2.探索并理解角平分线的性质。（重点） 3.能用尺规完成基本作图：做一个角的平分线。（难点） 自学指导（一）5分钟 认真研读课本P51-52实验与探究（1）~（3），试着动手作并完成下列各题： （1）角是轴对称图形吗？它的对称轴在哪？ （2）通过“实验与探究（2）（3）”你能得出什么结论？ 在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为 AD. C B A D 探究1: 你发现∠BAC 是轴对称图形吗？ 如果是，它的对称轴是什么？ 是 角平分线所在的直线. 发现: 探究2: 2.请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什么发现？说明你的理由. C B M A P N D PM = PN 角平分线上的点，到角的两边的距离相等. 【解析】因为ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知） 所以∠MＯP=∠NＯP（角平分线定义） 因为PM⊥OA,PN⊥OB （已知） 所以∠OMP=∠ONP=90°（垂直的定义） 在△OPM和△OPN中 　∠MOP=∠NOP （已证） 　∠OMP=∠ONP （已证） 　　　OP=OP　　（已知） 所以△OPM≌△OPN(AAS) 所以PM＝PN（全等三角形对应边相等） 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，试说明: PM=PN. P A O B C N M 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 用符号语言表示： 因为∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB 所以PD=PE. P A O B C E D 1 2 角平分线的性质1: 角的内部到角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 议: Q B O A D E 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D,E为垂足，QD＝QE．试说明：点Q在∠AOB的平分线上． 在角的内部到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 【解析】 因为 QD⊥OA，QE⊥OB 　所以 ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 　 QO＝QO（公共边） QD=QE（已知） 所以 Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） 　所以∠ QOD＝∠QOE 所以点Q在∠AOB的平分线上 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 因为 QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． 所以点Q在∠AOB的平分线上． 角平分线的性质2: 用符号语言表示为： 判断正误，并说明理由： 1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分别在OA、OB上，则PD=PE . ( ) 2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，PE=PF. ( ) （1题） （2题） × × 测： 13 B C A E F P 已知：∠BAC 求作：∠BAC 的平分线. 自主学习（二）5min 自学指导（二）5分钟 用尺规作角的平分线： 14 画法： 1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N． 2.分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于MN一半的长 为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于P． 3.作射线OP． 射线OP即为所求． O A B N M P 尺规作角的平分线： 测： A 1.用直尺和圆规作一个角的平分线，如上图所示，则能说明∠BAP=∠CAP的依据（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角的两边相等 O A B N M P 16 2. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加哪些条件是:____ 。 B D A E F c AE=AF ∠EDA＝∠FDA 1.角平分线的性质： 角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 通过本课时的学习，需要我们掌握： $$